Вычисление длины дуги кривой. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах Связь сферических и декартовых координат Двойной интеграл Приложения тройного интеграла Тройной интеграл в сферических координатах

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

Из условия согласования следует, что степень матрицы определена только для квадратных матриц, а степень произведения  определена для матриц прямоугольного вида. При этом число строк матрицы  должно совпадать с числом столбцов матрицы .

При вычислении степеней матриц и матричных выражений следует попытаться среди малых степеней  найти максимально простую матрицу с тем, чтобы использовать её для упрощения вычисления матрицы .

 Пример 13. а) Найти матрицу

.

 ◄ Пусть , тогда

Поэтому

 ►

 б) Найти матрицу , где

.

 ◄ Рассмотрим матрицы  и :

,

.

Но тогда

. ►

 13. Вычислить значение матричного выражения:

 а) , если ;

 б) , если ;

 в) , если

, .

 14. Вычислить .

 Пусть  – многочлен, , , . Многочленом  от матрицы  называется матричное выражение

, где .

 Пример 14. Найти значение , если

.

 ◄ По определению

. ►

 15. Найти значение :

 а) ;

 б) ;

 в) .

 Аппарат элементарных матриц позволяет находить обратную матрицу, если исходная матрица обратима.

Неопределенный интеграл

В математике, как правило, для каждого действия над изучаемыми объектами (числами, функциями, векторами и т.д.) определяется и обратное действие: сложение – вычитание; умножение – деление; возведение в степень – извлечение корня и т.д. При этом именно наличие обратных действий дает возможность решать наиболее содержательные задачи. Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Разнообразные вопросы математического анализа и его многочисленные приложения приводят к решению обратной задачи – восстановлению функции по известной ее производной или дифференциалу. С механической точки зрения это означает, что по известной скорости движения материальной точки необходимо восстановить закон ее движения.

Восстановление функций по известной производной этой функции – одна из основных задач интегрального исчисления.

Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов.

Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Функция  называется первообразной для функции  на интервале если  выполняется равенство

  (или ). (6.1)

Аналогично можно определить понятие первообразной на бесконечном промежутке и на отрезке , но в последнем случае в точках a и b надо рассматривать односторонние производные.

 

Теорема 16.1 Если функция  является первообразной для функции  на (a; b), то множество функций , где С – произвольная постоянная, охватывает все первообразные для функции .

□ Действительно, если  – первообразная, т.е. ,то  , т.е.  также первообразная.

Пусть   – любая другая первообразная функция для , т.е. . Тогда  имеем

.

А это означает, что , где С – постоянное число. Следовательно, . <

Совокупность всех первообразных  для функции  на интервале (a; b) называется неопределенным интегралом от  и обозначается символом . Следовательно,

. (6.2)

Здесь  называется подынтегральной функцией,  – подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, а символ – знаком неопределенного интеграла.

Таким образом, согласно примеру 1,

;

.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

С геометрической точки зрения теорема 16.1 утверждает, что график любой первообразной для  получается путем сдвигания вверх или вниз графика функции  (рис. 16.1). При фиксированном значении , график первообразной (кривой)   называется интегральной кривой.

Для того чтобы из данного семейства кривых выделить одну определенную кривую, нужно к условию задачи присоединить дополнительное условие, например, потребовать, чтобы кривая проходила через данную точку . Такое условие называется начальным. Координаты этой точки должны удовлетворять уравнению искомой кривой  т.е. . Из этого условия однозначно определяем С: . Тогда уравнение  является уравнением той интегральной кривой, которая проходит через точку .

 

Основные свойства неопределенного интеграла. Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих из его определения.

16.1º. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

  и . (6.3)

□ Действительно,

и

<

Благодаря этому свойству правильность интегрирования проверяется дифференцированием. Например, равенство

верно, так как .


Исследовать на четность и нечетность функцию