Вычисление длины дуги кривой. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах Связь сферических и декартовых координат Двойной интеграл Приложения тройного интеграла Тройной интеграл в сферических координатах

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

Упражнения

 1. Выяснить, какие из следующих матриц равны

.

 2. Написать матрицу, транспонированную данным:

.

 3. Если матрица  имеет вид

,

то каков вид матрицы ?

 4. Матрицы  и  имеют вид:

а)  б) .

Каковы размеры матрицы , если известно, что ?

 5. Даны матрицы  и . Найти матрицы .

 а) ; б) ;

в) .

 6. Найти произведение матриц , если:

 а) ; б);

 в) ; г)

 д) ; е) ;

 

 ж) ;

 з) ;

 

 и) ; к) ;

л) ; м) .

Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Роля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.

Теорема Ферма *. Пусть функция  определена на интервале  и в некоторой точке  имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке  существует конечная производная , то .

□  Пусть для определенности в точке  функция имеет локальный максимум, т.е.   . Это значит, что  для любой точки . Тогда в силу дифференцируемости  в точке  при   получим

   ,

а при    будем иметь

   .

По условию  существует и, значит, . Это возможно только в случае, когда . Но тогда и .

Аналогично доказывается теорема для случая локального минимума функции. ■

Теорема Ферма имеет простое геометрическое истолкование. Так как производная в точке   равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке, то равенство  означает, что , т.е. касательная к кривой в точке экстремума дифференцируемой функции параллельна оси  (точки  и  на рис. 14.6).

Отметим, что обратная теорема неверна, т.е., если , то это не значит, что  – точка экстремума (точка  на рис.14.6).

Теорема Ролля

Пусть  функция  удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке ;

дифференцируема на интервале ;

.

  Тогда существует хотя бы одна точка , в которой .

□ Так как функция  непрерывна на отрезке , то по теореме Вейерштрасса 13.18 она достигает на этом отрезке своих наименьшего  и наибольшего  значений, т.е. существуют такие точки , что ,  и выполняются неравенства . Если , то функция  постоянна на  и, следовательно, ее производная  в любой точке отрезка .

Если , то хотя бы одно из этих чисел функция достигает во внутренней точке , так как . В этом случае, так как  дифференцируема в точке , то по теореме Ферма . ■

Геометрически теорема Ролля означает, что при выполнении условий теоремы внутри отрезка  обязательно найдется хотя бы одна точка , такая, что касательная к графику  в точке  параллельна оси  (рис. 14.7). На этом рисунке таких точек три.


Заметим, что если не выполнено хотя бы одно из условий теоремы, то может не выполняться и заключение теоремы Ролля.


Исследовать на четность и нечетность функцию