Вычисление длины дуги кривой. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах Связь сферических и декартовых координат Двойной интеграл Приложения тройного интеграла Тройной интеграл в сферических координатах

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

Матрица  называется нуль-матрицей, а свойство 3) – свойством существования и единственности нуль-матрицы.

4) Для любой матрицы  существует единственная матрица  такая, что

 (1.5)

 ◄ Пусть , тогда . Действительно,

.

Тем самым доказано существование матрицы , удовлетворяющей равенству (1.5). Для доказательства её единственности предположим существование ещё одной матрицы , удовлетворяющей равенству (1.5), т.е. равенству

 (1.6)

Тогда

.

В то же время,

. ►

Матрица  называется матрицей, противоположной матрице , и обозначается , а свойство 4) – свойством существования и единственности противоположной матрицы. С помощью противоположной матрицы вводится определение вычитания матриц, именно

.

5) Операции сложения и транспонирования матриц связаны формулой

 

1.5 Умножение матрицы на число

Пусть матрица  имеет вид (1.1), . Произведением матрицы  на число  называется матрица

.

Иначе говоря, умножение матрицы на число осуществляется поэлементно:

.

Отметим основные свойства введённой операции:

 ◄Действительно,

. ►

 Заметим также, что противоположная матрица .

Лекция II.

План

На основании правила умножения вектора на скаляр можно выразить составляющие вектора  через его проекции и орты осей: . Тогда предыдущее векторное равенство примет вид

  . ■ (2.4)

Равенство (3.4) называется разложением вектора по координатным осям, а х, у, z - координатами вектора.

После выбора в пространстве определенной системы координат вектор и тройка его координат однозначно определяют друг друга, поэтому вектор (3.4) может быть записан в эквивалентной форме

 . (2.5)

Вследствие взаимной перпендикулярности координатных осей длина вектора   равна длине диагонали параллелепипеда, построенного на векторах  (рис.3.4), и выражается равенством

  . (2.6)

С помощью формулы (3.3) легко получить выражения для координат вектора через его модуль (3.6) и , , , называемые направляющими косинусами вектора

  (2.7)

Из формул (2.6) и (2.7) имеем

  (2.8)

откуда, возведя в квадрат левую и правую части каждого из равенств (3.8) и суммируя полученные результаты, найдем

  . (2.9)

Если   - единичный вектор, т.е. , то из формул (3.8) имеем

 , (2.10)

т.е. координатами единичного вектора служат его направляющие косинусы.

Согласно свойств проекции вектора на ось, при выполнении линейных операций над векторами тем же операциям подвергаются и координаты этих векторов, т.е. если  и , то

  (2.11)

Пусть   и  коллинеарны. Тогда равенство (3.1) эквивалентно равенствам

  или , (2.12)

т.е. векторы   и  коллинеарны в том и только в том случае, когда их соответствующие координаты пропорциональны. Следует заметить, что если одно или два из чисел в знаменателях соотношения (3.12) окажутся равными нулю, то такая запись становится символической, поскольку она не утверждает деления на нуль, а свидетельствует лишь о пропорциональности координат коллинеарных векторов.

Рассмотрим две точки  и , радиусы-векторы которых суть  и  (рис. 3.5). Так как   то прихо-дим к следующему выводу: чтобы найти координаты вектора , нужно из координат его конца вычесть координаты его начала.

Отсюда, в частности, получаем формулу для вычисления расстояния между рассматриваемыми точками А и В:

.  (2.13)

Разделить отрезок АВ в данном отношении  это значит найти на данном отрезке такую точку  С, что имеет место равенство . Найдем координаты х, у, z точки С, если  и . Из рис. 3.5 следует, что

Отсюда, приравнивая координаты, получим

   (2.14)

В частности, при  из системы (3.14) находим координаты середины отрезка  АВ

  (2.15)


Исследовать на четность и нечетность функцию