Вычисление длины дуги кривой. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах Связь сферических и декартовых координат Двойной интеграл Приложения тройного интеграла Тройной интеграл в сферических координатах

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

Сложение матриц

Операция сложения определена лишь для матриц одинакового размера. Именно, пусть ,

Суммой матриц  и  называется матрица

 (1.2)

О сложении матриц говорят также, что оно осуществляется поэлементно. Как уже отмечалось выше, в процессе изучения алгебры матриц мы будем пользоваться упрощенными обозначениями  и т.д., не указывая всякий раз множества возможных значений индексов  и , поскольку эти значения будут ясны из контекста. Например, следующее определение суммы матриц эквивалентно вышеприведенному определению.

Пусть  и  – действительные матрицы одного порядка, тогда

 (1.3)

Знак читается “равно по определению”, а отсутствие дополнительных указаний на возможные значения индексов  и  объясняется тем, что все матрицы, входящие в равенство (1.3), имеют одинаковый размер  при некоторых натуральных значениях  и  и, следовательно, .

Операция сложения матриц обладает рядом свойств, роднящих её с операцией сложения действительных чисел.

1) Операция сложения матриц коммутативна, т.е. для любых  и  из

 ◄ Пусть . Тогда

.

Здесь на первом и пятом шагах мы воспользовались обозначением суммы матриц, на втором и четвертом – определением суммы, а на третьем шаге – принципом равенства матриц. ►

2) Операция сложения матриц ассоциативна, т.е. для любых  и  из

3) Среди всех матриц множества  существует единственная матрица , обладающая свойством

 (1.4)

для любой матрицы  из .

 ◄ Рассмотрим матрицу порядка , все элементы которой равны 0. Ясно, что .

для любой матрицы  из . Тем самым показано существование матрицы , обладающей нужным свойством. Для доказательства её единственности покажем, что любая матрица  из , удовлетворяющая равенству (1.4) для любых  из , совпадает с матрицей . Действительно, если матрица   такая, как сказано выше, то одновременно выполняются равенства

 и .

Используя свойство коммутативности сложения матриц, получаем, что . ►

Разные види уравнений плоскости в пространстве. Угол между плоскостями. Условия паралельности и перпендикулярности плоскостей.

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.9)

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.9), которое называется уравнением плоскости.

Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Как известно из курса средней школы, положение плоскости в пространстве однозначно определяется в следующих трех случаях: 1) даны точка, через которую проходит плоскость, и вектор, ей перпендикулярный); 2) даны два неколлинеарных вектора, параллельных плоскости, и точка, через которую эта плоскость проходит; 3) даны три точки плоскости, не лежащие на одной прямой.

В зависимости от способа задания плоскости можно получить различные виды ее уравнения.

1. Составим уравнение плоскости Р, проходящей через точку  перпендикулярно к ненуле-вому вектору , называемому нормальным вектором плоскости (рис. 4.1).

Пусть - произвольная точка плоскости Р. Тогда вектор  плоскости Р ортогонален вектору . Используя условие ортогональности векторов (3.23), получим уравнение плоскости Р

 ,  (4.1)
которое называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку.

Таким образом, всякой плоскости соответствует уравнение первой степени относительно текущих координат х, у, z.

Придавая коэффициентам А, В, С  уравнения (4.1) различные значения, мы можем получить уравнение любой плоскости, проходящей через точку , поэтому это уравнение называют еще уравнением связки плоскостей.

Раскрывая скобки в уравнении (4.1) и вводя обозначение , получим уравнение

 , (4.2)
которое называется общим уравнением плоскости Р с нормальным вектором .

Верно и обратное: всякое уравнение вида (4.2), в котором хотя бы один из коэффициентов А, В, С отличен от нуля, определяет плоскость с нормальным вектором .

В самом деле, пусть  - произвольная точка, удовлетворяющая уравнению (3.9), а  - некоторая фиксированная точка, тоже удовлетворяющая ему, т.е. имеет место равенство . Вычитая это равенство из уравнения (3.9), получим соотношение (4.1), определяющее искомую плоскость.


Исследовать на четность и нечетность функцию