Матрицы и определители Аналитическая геометрия Функции нескольких переменных Уравнения в полных дифференциалах. Алгебра матриц Найти интеграл Вычислить несобственный интеграл Площадь плоской криволинейной трапеции

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

ЗАДАНИЕ 21. Многочлен f(x)=3x4  22x3 + 60x2  73x + 39 по степеням x представить в виде многочлена по степеням (x  2).

РЕШЕНИЕ.

Известно, что для дифференцируемой 4 раза в точке x0 функции f(x) существует лишь один многочлен, приближающий её в окрестности этой точки с точностью до слагаемого о((x  x0)4)  это многочлен Тейлора обозначим его : f(x) = + о((x  x0)4). В случае, когда сама f(x) является многочленом 4-й степени, получим f(x) = , то есть о((x  x0)4) = 0. Поэтому коэффициенты искомого многочлена можно найти с помощью формулы Тейлора

=

= f(x0) + f ¢(x0)( x  x0) +( x  x0)2 +( x  x0)3 +( x  x0)4.

В нашем случае x0=2. Вычисляем f(x0) и производные функции f(x) в точках x и x0: f(2) = 5; f ¢( x) = 12 x3  66 x2 + 120 x 73, f ¢(2) = 1;

f ¢¢( x) = 36x2  132x + 120, f ¢¢(2) = 0;  f ¢¢¢( x) = 72x  132, f ¢¢¢(2) = 12;

( x) = 72, (2) = 72.

Ответ. f(x)= 5  ( x  2) + 2( x  2)3 + 3( x  2)4.

ЗАДАНИЕ 22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию f(x) в окрестности точки x0 с точностью до о((x  x0)3): f(x)=sin(ex  1), x0 = ln .

РЕШЕНИЕ. Применяем формулу Тейлора

f(x)= f(x0) + f ¢(x0)( x  x0) +( x  x0)2 +( x  x0)3+ о((x  x0)3).

Вычисляем последовательно: f(ln ) = sin(1) = sin1;

f ¢( x) = cos(ex)×ex , f ¢(ln ) = cos(1) = – cos1;

f ¢¢( x) =  sin(ex1)×e2x cos(ex1)×ex, f ¢¢(ln ) = –2sin1 – cos1;

f ¢¢¢( x) =  3×sin(ex1)×e2x + (ex  e3x)cos(ex1),

f ¢¢¢(ln ) = –32sin1 1–2cos1.

Ответ. f(x)= sin1–cos1(xln ) –(xln )2 –

(xln )3 + о((xln )3). Вычислив приближённо число ln  и коэффициенты, запишем ответ в форме

f(x)= 0,842–1,697(x–1,145)–5,001(x–1,145)2–3,027(x–1,145)3+о((x–1,145)3).

Вектора. Линейные операции над векторами и их свойства. Декартовые прямоугольные координаты вектора в пространстве, его длина, направление вектора, расстояние между двумя точка.

В математике и ее приложениях различают два типа величин:

1) Величины, для определения которых достаточно знать только одно число. Эти величины называются скалярными или скалярами (длина, площадь, объем, масса, плотность, температура и т. д.).

2) Величины, для определения которых, кроме численного значения, необходимо знать также их направление в пространстве. Эти величины называют векторными или векторами (сила, скорость, ускорение и т. д.).

Вектором называется направленный отрезок  АВ с начальной точкой А и конечной точкой В, который обозначается символом  или одной строчной буквой (рис. 3.1).

Длиной (или модулем) вектора  называется число, равное длине отрезка, изображающего вектор. Записи  и  обозначают модули векторов  и  соответственно. Вектор , длина которого равна единице, называется единичным вектором, или ортом: орт обозначается .

Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается символом . Длина такого вектора равна нулю и ему можно приписать любое направление.

Векторы   и , расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными ( ).

Два вектора называются равными (), если они: 1) имеют равные модули; 2) коллинеарны; 3) направлены в одну сторону.

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства. В этом случае вектор называется свободным.

Векторы называются компланарными, если они лежат на одной или на параллельных плоскостях.

Рассмотрим линейные операциями над векторами.

 Произведением вектора  на действительное число  называется вектор , длина которого , а направление совпадает с , если  , и противоположно , если . Из определения следует, что векторы  и  всегда расположены на одной или на параллельных прямых. Следовательно, равенство

  (2.1)

выражает условие коллинеарности двух векторов.

Противоположным вектором  называется произведение вектора  на число , т.е. . Если , то орт вектора  находится по формуле

 . (2.2)

Суммой двух векторов  и  называется вектор , который идет из начала вектора  в конец вектора  при условии, что вектор  приложен к концу вектора  (рис. 3.2, а) (правило треугольника). Очевидно, что вектор  в этом случае представляет диагональ параллелограмма, построенного на векторах  и  (рис. 3.2, б) (правило параллелограмма).

Аналогично определяется сумма нескольких векторов: если векторы ,…,  образуют ломаную , то суммой этих векторов является вектор , замыкающий эту ломаную (рис. 3.2, в) (правило многоугольника).

В частности, если ломаная замыкается, т.е. , то сумма ее звеньев равна нулевому вектору  .


Разностью двух векторов   и  называется вектор , являющийся суммой векторов  и . Отметим, что вектор  направлен к концу вектора , если  и  приведены к общему началу ( рис. 2.2, б).

Введенные операции умножения вектора на число и сложения векторов называются линейными и удовлетворяют ( и ) следующим свойствам:

1о. ;  2о. ; 3о. ;

4о. ;  5о. ; 6о. 1 = ;

7о. ;  8о. () = +.


Метод интегрирования по частям