Матрицы и определители Аналитическая геометрия Функции нескольких переменных Уравнения в полных дифференциалах. Алгебра матриц Найти интеграл Вычислить несобственный интеграл Площадь плоской криволинейной трапеции

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

ЗАДАНИЕ 17. Для функции y(x), заданной неявно уравнением xey  yex+x=0, найти y¢x и y¢¢xx (аналитические выражения и значения в точке x0=0).

РЕШЕНИЕ.

Дифференцируем левую часть уравнения по переменной x, рассматривая её как сложную функцию x·e y(x)  y(x)·ex + x. Сложная функция тождественно равна нулю, а потому равна нулю и её производная:

e y+ x·e y· y¢ y¢·ex  y·ex+1=0.

Решаем это уравнение относительно производной y¢x: y¢x = . Для нахождения y¢¢xx дифференцируем полученное равенство, снова рассматривая его правую часть как сложную функцию от x

y¢x = ;

y¢¢xx =.

Вычисляем значения производных в точке x0=0. Нам не удалось получить производные в виде функций одной переменной x: y¢x выражена через x, y ; y¢¢xx выражена через x, y, y¢x . Из уравнения, задающего неявную функцию, находим соответствующее x0=0 значение y0=0; вычисляем y¢x(0)=2; наконец, вычисляем y¢¢xx(0)=0.

Часто более простым способом нахождения y¢¢xx является повторное дифференцирование заданного уравнения. В нашем случае это означает дифференцирование уравнения e y+ x·e y· y¢ y¢·ex  y·ex+1=0:

e y· y¢ + e y· y¢+ x·e y·( y¢)2+ x·e y· y¢¢ y¢¢·ex– y¢·ex – y¢·ex  y·ex = 0.

Отсюда

y¢¢xx =.

Подставив значения y¢x, можно увидеть, что два внешне различных выражения для y¢¢xx, найденные разными способами, совпадут.

Ответ. y¢x = ; y¢x(0)=2;

y¢¢xx =; y¢¢xx(0)=0.

Системы линейных уравнений общего вида

Если система (5.1) оказалась совместной, т. е. матрицы A и `A имеют один и тот же ранг, то могут представиться две возможности - a) r = n;
б) r < n:

а) если r = n, то имеем n независимых уравнений с n неизвестными, причем определитель D этой системы отличен от нуля. Такая система имеет единственное решение, получаемое по формулам Крамера;

б) если r < n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных.

Перенесем лишние неизвестные x r+1, x r+2,..., xn, которые принято называть свободными, в правые части; наша система линейных уравнений примет вид:

 a11 x1 + a12 x2 +... + a1r xr = b1 - a1,r+1 xr+1 -... - a1nxn,

  a21 x1 + a22 x2 +... + a2r xr = b2 - a2,r+1 xr+1 -... - a2nxn,

 ... ...  ... ... ... ... ... ... ... ...

 ar1 x1 + ar2 x2 +... + arr xr = br - ar,r+1 xr+1 -... - arnxn.

Ее можно решить относительно x1, x2,..., xr, так как определитель этой системы (r-го порядка) отличен от нуля. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, получим по формулам Крамера соответствующие числовые значения для x1, x2,..., xr. Таким образом, при r < n имеем бесчисленное множество решений.

Система (5.1) называется однородной, если все bi = 0, т. е. она имеет вид:

 a 11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = 0,

 a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn = 0, (5.5)

 ... ... ... ... ... ...

 am1 x1 + am1 x2 +... + amn xn = 0.

Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда совместна, так как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственно - система (5.5) заведомо обладает нулевым, или тривиальным, решением x1 = x2 =... = xn = 0. Пусть матрица А системы (5.5) имеет ранг r.

Если r = n, то нулевое решение будет единственным решением системы (5.5); при r < n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений.

Всякий ненулевой вектор - столбец X = (x1, x2,..., xn)T называется собственным вектором линейного преобразования (квадратной матрицы A), если найдется такое число l, что будет выполняться равенство

AX = lX.

Число l называется собственным значением линейного преобразования (матрицы A), соответствующим вектору X. Матрица A имеет порядок n.

В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы. Доказано, что матрица A является продуктивной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы A по модулю меньше единицы.

Для нахождения собственных значений матрицы A перепишем равенство AX = lX в виде (A - lE)X = 0, где E- единичная матрица n-го порядка или в координатной форме:

 (a11 -l)x1 + a12x2 +... + a1nxn =0,

 a21x1 + (a22 -l)x2 +... + a2nxn = 0,

  ... ... ... ... ... ... ... ... (5.6)

 an1x1 + an2x2 +... + (ann-l)xn = 0.

Получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е.

  = .

Получили уравнение n-ой степени относительно неизвестной l, которое называется характеристическим уравнением матрицы A, многочлен  называется характеристическим многочленом матрицы A, а его корни - характеристическими числами, или собственными значениями, матрицы A.

Для нахождения собственных векторов матрицы A в векторное уравнение (A - lE)X = 0 или в соответствующую систему однородных уравнений (5.6) нужно подставить найденные значения l и решать обычным образом.


Метод интегрирования по частям