Матрицы и определители Аналитическая геометрия Функции нескольких переменных Уравнения в полных дифференциалах. Алгебра матриц Найти интеграл Вычислить несобственный интеграл Площадь плоской криволинейной трапеции

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

ЗАДАНИЕ 8. Найти объем тела , ограниченного поверхностями

а) ; б) ; в)  .

РЕШЕНИЕ.

 Изобразим тело, ограниченное двумя концентрическими сферами с центрами в начале координат и радиусами 8 и 12 и (“снизу”)  конусом ; от полученного таким образом тела плоскостями   и  “отрезается” заданное условием задачи тело (V) (рис.77) .

Рис.77

 Объем тела может быть вычислен по формуле . Рассматривая тело в декартовой системе координат, видим, что оно не является ни -, ни -, ни -цилиндрическими брусами (см. рис.72); разбиение тела на  z- цилиндрические бруски является само по себе не простой задачей, не говоря уже о вычислении повторных интегралов. “Конструкция” тела  такова, что вычисление тройного интеграла удобнее провести в сферической системе координат r,,  связанной с декартовой системой координат формулами:

.

Якобиан такого преобразования . Для объема получим:

.

Чтобы тройной интеграл записать в виде повторного, перейдем в уравнениях ограничивающих тело поверхностей к сферическим координатам. Следует использовать соотношения

.

Уравнение  переходит в , уравнение   в ; для уравнения конуса  получим последовательно: ,   и , откуда  и ; уравнение плоскости  переходит в уравнение , уравнение плоскости  в , т.е. в . Таким образом,

.

 Так как подынтегральная функция представляет собой произведение функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, а пределы интегрирования постоянны, то повторный интеграл представляет собой просто произведение трех интегралов

==;

.

Для объема тела получим

.

Ответ. .

Разумеется, это не совсем обычный определитель. Ведь во второй строке его стоят операторы дифференцирования. Поэтому условимся считать, что мы понимаем под этим определителем его формальное разложение по первой строке, причем произведение, например, оператора на функциюесть и т.п.

Доказательство теоремы. Вычислим, например, . Пусть, для простоты, - уравнение . Тогда рассмотрим параметризацию проекции кривой на плоскость : (разумеется, - непрерывно дифференцируемые функции).

Тогда . К плоской кривой применим формулу Грина: , где - ограничиваемая кривой область плоскости . Вычислим . Итак, . Далее, , , и, значит, . Поэтому .

Аналогично, , и .


Метод интегрирования по частям