Матрицы и определители Аналитическая геометрия Функции нескольких переменных Уравнения в полных дифференциалах. Алгебра матриц Найти интеграл Вычислить несобственный интеграл Площадь плоской криволинейной трапеции

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции  область :  плоскости .

Решение.

Для того чтобы найти образ области  при отображении , нужно найти образ границы  области , затем взять произвольную точку из области  и найти ее образ.

Правило для определения уравнения образа кривой.

Пусть в области  кривая задана . Чтобы найти уравнение образа  этой кривой в плоскости  при отображении с помощью функции , нужно исключить  и  из уравнений:

 (1)

Если кривая задана параметрическими уравнениями:

 или ,

 то параметрические уравнения её образа при отображении  будут

В данном примере граница области  состоит из трех частей:  . Найдем ее образ при данном отображении.

Выделим и действительную и мнимую части функции.

;

, .

Возьмем первую часть границы и найдем ее образ. Составим систему (1):

Возведем в квадрат первое и второе уравнения системы и сложим:

.

Окончательное уравнение границы  при .

Аналогично находим образ :  при .

Образ  находим из системы:

Следовательно, образ границы :  при  и  при ; . Изобразим образы границ  на плоскости .

Для изображения образа области  на плоскости  возьмем контрольную точку. Точка  обратится в точку .

В дальнейшем мы рассматриваем только двусторонние поверхности.

Обычно удобно задавать поверхности параметрическими уравнениями (4), где ( - некоторая плоская область).

При этом мы считаем, что уравнения (4) задают взаимно-однозначное соответствие между точками поверхности и точками .

Кроме того, мы считаем, что функции непрерывны в (при выполнении этих условий мы будем говорить: - непрерывно дифференцируемые функции от ) и что в любой точке из ранг матрицы равен 2. Это означает, что в любой точке хотя бы один из миноров этой матрицы не равен 0. Пусть, например, . Тогда по теореме о системе неявных функций (см. 2-й семестр) в некоторой окрестности уравнения можно решить и получить выражение через , т.е. . Тогда третье уравнение в окрестности рассматриваемой точки даст , т.е. мы получаем явное уравнение вида (1).

(Если , то имеем, по аналогии, , а если , то ).

Можно доказать (хотя мы этого не будем делать), что при сделанных выше предположениях уравнения (4) задают двустороннюю поверхность.

Обозначим вектор . Рассмотрим произвольную точку . Зафиксируем сначала и рассмотрим - кривую на поверхности. Тогда - вектор касательной к этой кривой. Аналогично, - вектор касательной к кривой .


Метод интегрирования по частям