Формула Грина Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных Решение примерного варианта контрольной работы Производные ФНП высших порядков Функции комплексной переменной Векторное поле

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

Вычисление тройного интеграла

 Пусть область интегрирования U определяется неравенствами:

Где y1(x), y2(x), z1( x, y), z2(x, y) – непрерывные функции. Тогда тройной интеграл от функции  по области U вычисляется по формуле:

 Интеграл стоящий в правой части формулы называется трехкратным. Он принципиально мало чем отличается от двукратного, добавляется лишь интегрирование еще по одной переменной. Решить систему линейных уравнений: a) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса.

Пример 1. Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного

 поверхностями

z=0, z=4-y2, x2=2y.

 Решение: Данное тело ограничено сверху цилиндрической поверхностью z=4-y2 с образующими, параллельными оси ОХ, снизу плоскостью z=0 ( координатная плоскость ХОУ ).

 Эти поверхности пересекаются по прямым: у = -2 и у = +2

 Тело U ограничено также цилиндрической поверхностью x2=2y с образующими, параллельными оси OZ

  

 Поверхности, пересекаясь, образуют замкнутое тело, которое проецируется в область Д плоскости ХОУ

    

 Для вычисления объёма воспользуемся формулами. Пределы интегрирования по Х и У расставятся в соответствии с областью Д (как в двухкратном интеграле), а пределами интегрирования по Z будут:

Получим 

Ответ:

Для определения горизонтальных асимптот находим ,  и . Значит, горизонтальная асимптота одна (ось ).

Для определения вертикальных асимптот находим те значения , вблизи которых  неограниченно возрастает по абсолютной величине: , . Это и есть вертикальные асимптоты.

14.4 Т.к. , то горизонтальных асимптот нет, т.к.  неограниченно возрастает, когда  при .

Таким образом имеется вертикальная асимптота, ее уравнение .

При этом   при  и  при

Определим наклонные асимптоты , где ,

Итак, уравнение наклонной асимптоты

14.5. Область определения: вся числовая ось, кроме . Функция непрерывна всюду, кроме , следовательно имеется вертикальная асимптота: . Горизонтальных асимтот нет: .

Наклонные асимптоты: ,

Значит, наклонная асимптота одна:

Критические точки: , , , (не входит в область определения)

 

    (Не рассматривается, т.к. не входит в область определения) На интервалах и  выпуклость вверх . На интервале  выпуклость вниз  т.  - точка перегиба.

16.1 Сделайте подстановку  Определите новые пределы интегрирования

    

    

 При изменении  от 0 до  функция  монотонно возрастает и её значения заполняют первоначальный отрезок интегрирования

16.2 Учтите, что значение функции находятся на интервале

Ответ:

16.3 Ответ:

16.4 Подынтегральную функцию представьте в виде . Далее легко интегрируется.

Ответ: 

16.5

  Применена формула интегрирования по частям.

17.1 .

  При  предел существует и равен ;

 при   интеграл расходится .

17.2 Задача сводится к 17.1 подстановкой . Ответ: интеграл сходится при  и расходится .

17.3

17.4 Замена переменных . Особенность в точке . Ответ:

17.5   имеет особенность в точке  

 

 (проинтегрировали по частям)

 

 Но  (по правилу Лопиталя)

Ответ:

18.1 Разделите отрезок интегрирования на 10 равных частей точками

   

;  значит 

Итак, , значит .

Взяв значения функций в точках деления до третьего знака, получим точность числа   до второго знака.

21.1 Стационарные точки:

  

  x=-2, y=-1 ,следовательно, есть одна стационарная точка (-2, -1)

Исследуем функцию на границе области. Граница состоит из отрезка оси , отрезка оси и отрезка АВ прямой

а) На оси , значит . Эта функция должна быть рассмотрена на отрезке . Так как функция на отрезке непрерывна, она достигает наибольшего и наименьшего значения. Это происходит или в точках стационарности, или на концах отрезка. Определим точку стационарности .

Определим значение функции при  и на концах отрезка [-5,0]

 

б) На оси   значит 

 

   

в) Исследуем функцию z на отрезке AB. Уравнение АВ , значит   

 

 

 

Сравним теперь значение z  в стационарной точке (-2,-1) с наибольшими и наименьшими значениями на отрезках ОА, ОВ и АВ.

, получаем, что наименьшего своего значения функция достигла в стационарной точке , а наибольшего – на границе области в точке (0,-5).

21.2 Стационарные точки  находятся вне рассматриваемой области. Наибольшего значения функция достигает на границе области в точке , а . Наименьшего значения функция достигает в точке , а .

 21.3 Обозначим стороны треугольникаи . По формуле Герона площадь треугольника , так как - полупериметр, то  и  становится функцией не трёх, а только двух переменных

Вместо того, чтобы искать экстремум этой функции будем искать экстремум её квадрата . Находим стационарные точки   . Исследованию подлежит только одна точка , так как остальные точки не удовлетворяют смыслу задачи(не может быть треугольника, у которого сторона равна половине периметра).

Проверяем точку М. В ней функция достигает максимума. Итак, при

Так как , то треугольник равносторонний.

22.1

 

22.2 Градиент функции Z и производная по направлению a  связаны формулой - то есть производная по направлению равна проекции вектора-градиента на вектора.

В нашем случае

23.1 Для решения нужно представить себе область интегрирования. Решив систему

можно построить область интегрирования и найти точки пересечения линий, ограничивающих область пересечения.

   

 

Точки пересечения и . Постройте область интегрирования. Теперь изменим порядок интегрирования, то есть внешний интеграл будем брать по , а внутренний по . Заметим, что в пределах изменения  от -1 до 8 область интегрирования ограничена снизу одной линией: параболой, а сверху – двумя: параболой и прямой. Разобьем область интегрирования Д на две  и . Значит, придётся разбить наш интеграл на два. Область   ограничена сверху и снизу ветвями параболы  и , а область  снизу ограничена ветвью параболы , а сверху прямой  (при ).

23.2  По данному уравнению построим кривую в декартовой системе координат. Из уравнения видно, что кривая симметрична и относительно  и относительно . Биссектрисы координатных углов  и  также являются осями симметрии кривой. Найдём точки пересечения с осями. При  ,  получим две точки пересечения с осью   и .

Аналогично при  получим , . Добавим точки при

Построим кривую

Найдём площадь области Д. Перейдём в систему координат, поместив полярную ось вдоль оси , а полюс в начало координат.

При решении геометрических и физических задач во многих случаях для упрощения вычислений двойной интеграл в прямоугольных координатах преобразуется к полярным координатам. Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат x, y к полярным координатам ρ, φ, связанным с прямоугольными координатами соотношениями

x= ρcosφ, y= ρsinφ, осуществляется по формуле

Если область интегрирования D ограничена двумя лучами, выходящими из полюса,

φ =α, φ =β (α<β) и двумя кривыми ρ= ρ1(φ) и ρ= ρ2(φ), где ρ1(φ)≤ρ2(φ), то что двойно интеграл вычисляется по формуле

, где F(ρ, φ)=f(ρcos φ ,ρsin φ), причем сначала вычисляется интеграл , в котором φ считается постоянным.

 


Преобразуем уравнение кривой к полярным координатам, заменив x= ρcosφ, y= ρsinφ.

Получим

  - уравнение линии в полярных координатах.

В силу симметричности кривой, площадь выразиться так:

По формуле интегрирования запишем двукратный интеграл, при этом пределы интегрирования по φ будут от 0 до , а пределы интегрирования по ρ:

Итак

=

.


Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)