Формула Грина Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных Решение примерного варианта контрольной работы Производные ФНП высших порядков Функции комплексной переменной Векторное поле

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

Следующая задача посвящена нахождению вектора – градиента для функции нескольких переменных.

вектор-градиент обозначается grad u или Ñu.

Пример 1. Даны функция трех переменных , вектор  и точка .

Найти: 1) Grad u в точке M0;

 2) производную в точке M0 по направлению вектора ;

  3) наибольшую крутизну поверхности u в точке M0.

Решение: 

1) Вектором градиентом функции трех переменных u(x,y,z) является вектор
grad  (или  в случае двух переменных) Матрицы и определители. Понятие матриц (матрица-строка, матрица-столбец, квадратная, единичная, диагональная). Равенство матриц. Действия над матрицами (умножение матрицы на число, сложение, вычитание, умножение матриц, транспонирование матриц). Определители 2-го, 3-го и n-го порядка. Минор и алгеброическое дополнение. Обратная матрица и ее вычисление.

Найдем частные произведения функции u:

Из определения градиента следует, что эти частные производные являются проекциями вектора-градиента на оси координат. Вычислим значения частных производных в точке Mo.

Следовательно вектор-градиент в точке M0 имеет вид:

2) Производная по направлению вектора вычисляется по формуле , то есть равна скалярному произведению вектора градиента на единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором .

Так как , то его длина  и, следовательно, единичный вектор, совпадающий по направлению с , , используя формулу скалярного произведения в координатной форме , получим

Итак производная функции u по направлению вектора  равна .

3) Поскольку |grad u| есть наибольшее значение производной  в данной точке P, а направление grad u совпадает с направлением луча, выходящего из точки P, вдоль которого функция меняется быстрее всего, то направление градиента есть направление наискорейшего возрастания функции u(x,y,z)

|grad u| = .

 

 

Рассмотрим теперь интегрирование функций нескольких переменных.

 Двойным интегралом от функции  по области D называется предел интегральной суммы при условии, что число элементарных областей n стремится к бесконечности, а наибольший из диаметров элементарных областей стремится к нулю:

  Если функция  непрерывна в замкнутой области D, то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения области D на элементарные и от выбора точек Рк

 Если >0 в области D, то двойной интеграл

геометрически есть объём цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , сбоку цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ, и снизу областью D плоскости ХОY.

Основные свойства интегралов

1.

2. где С – постоянная

3. Если область интегрирования D разбита на две области D1 и D2, то

  Различают два основных вида области интегрирования:

Область интегрирования D ограничена слева и справа прямыми х=а и х=в (a<в), а снизу и сверху непрерывными кривыми y=φ1(x) и y=φ2(x) , каждая из которых пересекается вертикальной прямой только в одной точке / рис.1/.

  По такой области двойной интеграл вычисляется по формуле:

Причем сначала вычисляется внутренний интеграл  в котором х считается постоянным.

Область интегрирования D ограничена снизу и сверху прямыми y=c и y=d (c<d) , а слева и справа непрерывными кривыми х=φ1(y) и х=φ2(y)   каждая из которых пересекается горизонтальной прямой только в одной точке ( рис. 2).

В такой области двойной интеграл вычисляется по формуле:

Причем сначала вычисляется интеграл  в котором y считается постоянным.

 Правые части формул называются двукратными или повторными интегралами. В более общем случае область интегрирования путем разбиения на части сводится к основным.


Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)