Матрицы и определители Аналитическая геометрия Функции нескольких переменных Уравнения в полных дифференциалах. Алгебра матриц Найти интеграл Вычислить несобственный интеграл Площадь плоской криволинейной трапеции

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

Обратная матрица. Матричные уравнения. Системы линейных алгебраических уравнений.

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте §3,4 лекций и предложенные примеры. Ответьте письменно на вопросы и решите задачи.

Примеры.

Даны матрицы:

1. Существуют ли обратные для данных матриц? Если да, найдите и выполните  проверку.

Решение: Матрица А квадратная, ее определитель равен , следовательно, А-1 существует. Матрица В квадратная, но ее определитель , следовательно, В-1 не существует. Матрица С размера 3´2, не квадратная, следовательно, С-1 не существует.

Найдем обратную матрицу для матрицы А. Прежде всего, транспонируем матрицу А:

.

Составим присоединенную матрицу из алгебраических дополнений к элементам матрицы АТ:

Вычислим обратную матрицу по формуле

.

Проверим: произведение матрицы и ее обратной должно быть единичной матрицей

,

что и требовалось доказать, т.е. матрица А-1 найдена верно.

Замечание: удобнее перемножать целочисленные матрицы, поэтому мы сначала перемножили матрицы  и А, а результат домножили на дробь. Этим приемом мы будем пользоваться и далее.

2. Решить матричные уравнения АХ=В и YА=В.

Решение: Уравнение АХ=В, если матрица А имеет обратную, решается по формуле Х=А-1В. Получаем:

 

Уравнение YА=В, если матрица А имеет обратную, решается по формуле Y=ВА-1. Получаем:

3. Записать систему линейных уравнений в виде матричного уравнения: 

Решение: Система линейных уравнений эквивалентна матричному уравнению АХ=В, где Х – столбец неизвестных; А – матрица коэффициентов при неизвестных в левых частях уравнений (необходимо следить за очередностью неизвестных в записи уравнения; если неизвестной в уравнении нет, значит, соответствующий коэффициент равен 0); В – столбец свободных коэффициентов:

; ;

4. Решить систему из п3 при помощи правила Крамера

Решение: Прежде всего, найдем определитель системы:

,

следовательно, система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера. Для определения значения переменной х вычислим определитель , полученный из D заменой столбца коэффициентов при переменной х на столбец свободных коэффициентов:

, значит,   .

Аналогично, определитель  получаем из D заменой столбца коэффициентов при переменной y на столбец свободных коэффициентов:

,

.

Далее, определитель  получаем из D заменой третьего столбца на столбец свободных коэффициентов:

Таким образом, решением системы является тройка чисел (-1;1;1). Подстановкой в уравнения системы убеждаемся, что решение найдено верно.


Двойной интеграл. Его основные свойства и приложения

Мы будем рассматривать функции , определенные на квадрируемом (т.е. имеющем площадь) множестве . Если вспомнить теорию определенного интеграла, то мы начинали ее изложение с понятия разбиения отрезка . По аналогии, определим разбиение квадрируемого множества , как представление множества в виде объединения конечного числа квадрируемых частей, .

(Практически всегда представляет собой криволинейную трапецию или конечное объединение криволинейных трапеций. Можно считать, что и разбиение на части определяется с помощью непрерывных кривых, т.е. все - также криволинейные трапеции или их конечные объединения).

В одномерном случае мы рассматривали длины частей разбиения . В двумерном случае обобщение понятия длины будет площадь . Однако нам потребуется также и понятие диаметра. Эта величина определяется как точная верхняя грань расстояния между точками множества .

Определим диаметр разбиения как наибольший из диаметров частей этого разбиения.

Далее, как и в одномерном случае, выберем точки (было: ). Пусть имеет координаты . Важную роль в дальнейшем будет играть понятие интегральной суммы. Так же, как в одномерном случае, эта величина имеет простой геометрический смысл. Интегральная сумма равна объему тела, состоящего из цилиндров с высотой (для простоты считаем, что ) и основаниями - .


Метод интегрирования по частям