Формула Грина Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных Решение примерного варианта контрольной работы Производные ФНП высших порядков Функции комплексной переменной Векторное поле

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

Следующая задача посвящена вычислению определённого интеграла, например:

Пример 1. Вычислить определенный интеграл 

Решение: Определенный интеграл от любой непрерывный функции f(x) вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница

где F(x) – первообразная для f(x).

Геометрически определенный интеграл  представляет собой при  площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), осью ox и прямыми x=a и x=b.

Проинтегрируем сначала соответствующий неопределенный интеграл по частям, положив u=x, dv=sin x dx.

И по формуле Ньютона-Лейбница получим:

Пример 2. Найти

Решение: Находя первообразную с помощью замены переменной при вычислении определенного интеграла, не следует забывать, что, изменив переменную, придется изменить и ее пределы интегрирования.

Обозначим , тогда , , но при x=0, t=0, а при x=4, t=2. Следовательно, в новом интеграле, относительно переменной t изменяются пределы интегрирования:

но так как dt=d(t+1)

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 

Площадь фигуры типа для которой , то есть, для правильной в направлении оси  фигуры на рисунке находятся по формуле

 

 

  

 

Для фигуры, правильной относительно оси  на рисунке , то есть фигуры, которая ограничена

площадь находится по формуле

 

Решение: Решая совместно систему уравнений

найдем абсциссы точек пересечения наших кривых следовательно, пределы интегрирования будут равны a=-1, b=0. Поскольку наша фигура является правильной, как относительно , так и относительно , можно считать ее площадь по первой и по второй формуле. Будем считать по первой.

Тогда

 

Далее разберём задачу о вычислении несобственных интегралов.

Определённый интеграл, который рассматривался в предыдущей задаче, вычисляется при двух предположениях:

отрезок интегрирования [a,b] конечен

подынтегральная функция на этом отрезке непрерывна

При таких предположениях интеграл называется собственным интегралом. В том случае, если отрезок интегрирования бесконечен или конечен, но подынтегральная функция на этом отрезке терпит разрыв, интеграл называется несобственным интегралом.

Несобственный интеграл с бесконечными пределами.

Пусть функция f(x) в промежутке  непрерывна. Интегралом от f(x) в пределах между  называется предел интеграла, взятого от , т.е.

Это несобственный интеграл.

Если конечный предел в правой части существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а функция f(x)- интегрируемой на . Если этот предел бесконечен или не существует, то интеграл называется расходящимся.

Интеграл  

  для любого a.

Пример 1. Вычислить

а) p¹1


Пример 2. Вычислим несобственный интеграл  или покажем, что он расходится.

 Решение: Найдем неопределённый интеграл

Итак, предел существует, значит, несобственный интеграл I сходится и равен 

Интеграл 2-го рода.

Если в интеграле  функция f(x) неограниченно возрастает, то есть  когда x приближается к одному из пределов интегрирования. Когда это происходит при x®a, то .

Если подынтегральная функция перестаёт быть ограниченной внутри отрезка интегрирования, например в точке с то эту точку вырезают:

Пример 3. Вычислим 

Решение: Когда x®2 подынтегральная функция . Точка x=2 особая.

То есть интеграл расходящийся.


Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)