Формула Грина Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных Решение примерного варианта контрольной работы Производные ФНП высших порядков Функции комплексной переменной Векторное поле

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

Вычислить циркуляцию векторного поля  по контуру Г, состоящему из частей линий   (направление обхода положительно).

Решение.

Воспользуемся формулой Грина:

Ротором или вектором вихря векторного поля A = {Ax, Ay, Az}, где Ax, Ay, Az – функции от x, y, z, называется вектор, определяемый следующим образом:

  (55)

Рассмотрим векторное поле А(М), определенное в пространственной области G, ориентированную гладкую поверхность S  G и поле единичных нормалей п(М) на выбранной стороне поверхности S.

Поверхностный интеграл 1-го рода

  (56)

где An – скалярное произведение соответствующих векторов, а Ап – проекция вектора А на направление нормали, называется потоком векторного поля А(М) через выбранную сторону поверхности S.

Пример 10.

Найти поток векторного поля  через часть плоскости  ограниченную координатными плоскостями (нормаль к плоскости образует острый угол с осью Oz).

Решение.

Проекцией данной поверхности на координатную плоскость Оху является треугольник с вершинами в точках А(0;0), В(0;1), С(½; 0). Найдем координаты единичной нормали к плоскости:

Вычислим соответствующий поверхностный интеграл (формула (56)):

Дивергенцией векторного поля A = {Ax, Ay, Az}, где Ax, Ay, Az – функции от x, y, z, называется

 . (57) 

Пример 11.

Найти дивергенцию и ротор векторного поля  где

Решение.

Найдем координаты вектора а:

Тогда

Векторное поле A = {Ax, Ay, Az} называется потенциальным, если вектор А является градиентом некоторой скалярной функции u = u(x, y, z):

A = grad u = . (58) 

При этом функция и называется потенциалом данного векторного поля.

Пример 12.

Проверить, является ли векторное поле

потенциальным, и в случае положительного ответа найти потенциал и, считая, что в начале координат он равен нулю.

Решение.

Поле является потенциальным, если выполнены следующие условия:

В нашем случае

Следовательно, поле  потенциальное. Найдем его потенциал и, считая, что и(0;0;0) = 0:

Векторное поле A = {Ax, Ay, Az} называется соленоидальным в области D, если в каждой точке этой области

 div A = 0. (59)


Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)