Формула Грина Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных Решение примерного варианта контрольной работы Производные ФНП высших порядков Функции комплексной переменной Векторное поле

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

Геометрические и физические приложения

Длина кривой.

Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:

  (39)

2) Масса кривой.

Считая, что подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность каждой точки кривой, найдем массу кривой по формуле

  (40)

Пример 6.

Найти массу кривой с линейной плотностью  заданной в полярных координатах уравнением ρ = 4φ, где

Решение.

Используем формулу (40) с учетом того, что кривая задана в полярных координатах:

3) Моменты кривой l: 

  - (41)

статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу;

 - (42)

момент инерции пространственной кривой относительно начала координат;

  -  (43)

моменты инерции кривой относительно координатных осей.

4) Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам

 .  (44) 

 

5) Работа силы , действующей на точку, движущуюся по кривой (АВ):

  , (45)

Пример 7.

Вычислить работу векторного поля  вдоль отрезка прямой от точки А(-2;-3;1) до точки В(1;4;2).

Решение.

Найдем канонические и параметрические уравнения прямой АВ:

Площадь криволинейной поверхности, уравнение которой

z = f(x, y), можно найти в виде:

  (46)

(Ω – проекция S на плоскость Оху).

7) Масса поверхности

  (47)

Пример 8.

Найти массу поверхности с поверхностной плотностью γ = 2z2 + 3.

Решение.

На рассматриваемой поверхности

  Тогда

Проекцией D этой поверхности на координатную плоскость Оху является полукольцо с границами в виде дуг концентрических окружностей радиусов 3 и 4.

Применяя формулу (47) и переходя к полярным координатам, получим:

8) Моменты поверхности:

  (48) статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz;

  

 (49)

моменты инерции поверхности относительно координатных осей;

   - (50)

моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей;

  - (51)

момент инерции поверхности относительно начала координат.

Координаты центра масс поверхности:

 . (52)

III. Теория поля

Если в каждой точке М определенной пространственной области задано значение некоторой скалярной или векторной величины, то говорят, что задано поле этой величины (соответственно скалярное или векторное).

Если в некоторой области задано скалярное поле U(x,y,z), то вектор

  (53)

называется градиентом величины U в соответствующей точке.

Пусть дано векторное поле . Интеграл

  (54)

называется линейным интегралом от вектора  вдоль кривой L. Если кривая L замкнута, то этот интеграл называют циркуляцией вектора  вдоль кривой L.


Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)