Формула Грина Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных Решение примерного варианта контрольной работы Производные ФНП высших порядков Функции комплексной переменной Векторное поле

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

Найти момент инерции однородной круглой пластинки

(x – a)2 + (y – b)2 < 4b2 относительно начала координат.

Решение.

В силу однородности пластинки положим ее плотность γ(х,у) = 1.

Центр круга расположен в точке C(a, b), а его радиус равен 2b.

Уравнения границ пластинки имеют вид

Вычислим каждый из полученных интегралов отдельно.

Для вычисления интеграла I1 сделаем замену:

 при x = a – 2b   при x = a + 2b

Для вычисления интеграла I2 преобразуем подынтегральную функцию по формуле разности кубов:

Тогда

Следовательно,

Моменты инерции фигуры D относительно осей Ох и Оу:

 (15)

5) Масса плоской фигуры D переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у):

 (16)

Пример 3.

Найти массу пластинки D плотности γ = ух3, если

Решение.

Координаты центра масс плоской фигуры переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у):

 (17)

Пример 4.

Найти центр тяжести однородной пластины D, ограниченной кривыми у2 = ах и

Решение.

Так как пластина однородна, т.е. ее плотность постоянна, то можно принять ее за единицу.

Тогда  

Найдем массу пластины, а для этого определим абсциссу точки пересечения ограничивающих ее линий:

Соответственно

6) Объем тела V:

 (18)

Пример 5.

Найти объем тела V, ограниченного поверхностями

Решение.

Найдем проекцию тела на плоскость Оху (при этом заметим, что плоскость   проектируется на эту плоскость в виде прямой

х = 0):

Определим абсциссу точки пересечения кривых у = х2 и х + у = 2:

 посторонний корень. Тогда, используя формулу (18), получаем:

7) Масса тела V плотности γ = γ (x, y, z):

  (19)

8) Моменты инерции тела V относительно координатных осей и начала координат:

 

 

  (20)

 

 (21)

 где γ (х, y, z) – плотность вещества.

Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oyz, Oxz, Oxy:

 (22)

9) Координаты центра масс тела:

 

  (23)

 


Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)