Формула Грина Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных Решение примерного варианта контрольной работы Производные ФНП высших порядков Функции комплексной переменной Векторное поле

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

Среди корней знаменателя правильной рациональной дроби имеются комплексные корни, то есть разложение знаменателя содержит множители вида

Пример Вычислить интеграл

Подынтегральная функция разлагается на сумму двух простейших дробей

Заметим, что квадратный трехчлен имеет комплексные корни, а в числителе простейшей дроби, ему соответствующей, стоит многочлен первой степени с неопределенными коэффициентами.

Найдем

Решая систему, получим .

Тогда

Для вычисления второго интеграла выделим в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат:

.

Имеем:

положим тогда

Окончательно .

 

Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы вида

вычисляют, используя следующие тригонометрические формулы:

Пример . Вычислить интеграл .

По первой формуле, полагая , получим:

.

Тогда

Интегралы вида вычисляют, используя формулы .

Пример Вычислить .

Используя первую формулу, получим:

Интегралы вида вычисляют, используя формулу и метод подведения под знак дифференциала.

Пример . Вычислить .

Преобразуем подынтегральное выражение

.

Тогда

При интегрировании использованы формулы

.

Интегралы вида при вычислении используют тригонометрические формулы

Пример . Вычислить .

Преобразуем подынтегральное выражение

.

Тогда

При вычислении использованы формулы


Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)