Формула Грина Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных Решение примерного варианта контрольной работы Производные ФНП высших порядков Функции комплексной переменной Векторное поле

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

Использование понятия неопределенного интеграла в экономике

Рассмотрим различные соотношения между суммарными, средними и маргинальными величинами, использующие понятие неопределенного интеграла.

Пример 44. Определить функциональное соотношение между количеством выпускаемой продукции и общими производственными затратами, а также средние затраты, если   а фиксированные затраты составляют 5000 у.е.

○ Интегрирование  и прибавление к полученному результату фиксированных затрат приводит к следующей функции общих затрат:

Средние затраты  равны:

. ●

Пример 45. Найти функциональную зависимость общего и среднего доходов от единицы продукции, если известна функция маргинального дохода в зависимости от Q:

○  Интегрирование MR(Q) и прибавление к полученному результату C=0 (доход без производства) приводит к следующей функции общего дохода:

Средний доход  определяется как часть общего дохода, приходящегося на единицу продукции, т.е.

Зная эти три функциональные зависимости, легко найти маргинальный доход, общий доход и средний доход для конкретного уровня производства. ●

Рассмотрим еще один пример применения неопределенного интеграла для определения функциональной зависимости наращивания капитального имущества. Такие зависимости применяются при анализе национальной и региональной экономики. Если формирование капитала (новые заводы, оборудование, машины и т.п.) рассматривать как непрерывный процесс, зависимый от времени, то переменная капитального имущества определяется в виде функции от времени. Зная процесс формирования капитального фонда (например, новые капиталовложения) как функции от времени, можем определить общий капитальный фонд в виде неопределенного интеграла с точностью до постоянной интегрирования C. Постоянная C определяется из начальных условий (величина общего капитального фонда в какой-то фиксированный момент времени, например, при ).

Пример 46. Найти общую сумму капитального имущества (в у.е.), если известна величина капитального блага в начальный момент времени , которая составляет 10 млрд. у.е. и темп новых инвестиций как функция времени  где t измеряется в годах.

○ Интегрируя функцию инвестиций g(t), получим функциональное выражение величины капитала (в млрд. у.е.) как функцию времени, т.е.

Это и есть функциональная зависимость общей суммы капитала в каждый момент времени, измеряемого в годах после начального момента. ●

        Пример 7.3   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2t\cos t\;dt.$

Для этого сделаем замену $ x={\varphi}(t)=\sin t$, откуда $ dx={\varphi}'(t)dt=\cos t\;dt$. Кроме того, при $ t=0$имеем $ x=\sin0=0$, а при $ t=\frac{\pi}{2}$имеем $ x=\sin\frac{\pi}{2}=1$. Получаем:

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2t\cos t\;dt=
\left\vert\begin{array}...
...end{array}\right\vert=
\int_0^1x^2dx=\frac{x^3}{3}\Bigr\vert _0^1=\frac{1}{3}.$

    

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла.

        Пример 7.4   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int_0^1x\;e^{2x}dx.$

Выгодно взять $ u=x$и $ dv=e^{2x}dx$, так что получаем:

$\displaystyle \int_0^1x\;e^{2x}dx=
 \left\vert\begin{array}{l}
 u=x\\ 
 dv=e^{2...
...ht\vert=
 x\cdot\frac{1}{2}e^{2x}\Bigr\vert _0^1
 -\int_0^1\frac{1}{2}e^{2x}dx=$

   

$\displaystyle =\frac{e^2}{2}-\frac{1}{2}\int_0^1e^{2x}dx=
 \frac{e^2}{2}-\frac{1}{4}e^{2x}\Bigr\vert _0^1=$

   

$\displaystyle =\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}(e^2+1).$

   

 

При этом возникший по дороге внеинтегральный член $ x\cdot\frac{1}{2}e^{2x}\Bigr\vert _0^1$мы вычислили так:

$\displaystyle x\cdot\frac{1}{2}e^{2x}\Bigr\vert _0^1=
1\cdot\frac{1}{2}e^{2\cdot1}-0\cdot\frac{1}{2}e^{2\cdot0}=\frac{e^2}{2}.$

    

Особенно ясно проявляется указанное в замечании преимущество в том случае, если формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз подряд.

        Пример 7.5   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin x\;dx,$

применив формулу интегрирования по частям два раза подряд. Имеем:

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin x\;dx=
 \left\vert\begin{array}{l}
...
...rray}{l}
 u=x\\ 
 dv=\cos x\;dx\\ 
 du=dx\\ 
 v=\sin x
 \end{array}\right\vert=$

   

$\displaystyle =\underbrace{x\sin x\Bigr\vert _0^{\frac{\pi}{2}}}_{{}=\frac{\pi}...
...\sin x\;dx=
 \frac{\pi}{2}+\cos x\Bigr\vert _0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}-1.$

   



Если бы мы сразу же не вычисляли значения подстановок во внеинтегральных членах, то нам пришлось бы несколько раз при нахождении первообразных выписывать значения этих внеинтегральных членов $ -x^2\cos x$и $ x\sin x$, а здесь мы сразу же заменили первую подстановку на 0, а вторую на $ \frac{\pi}{2}$, что сэкономило некоторое место в записи и наши усилия.    


Примеры: 1. ; этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится.
2. ; следовательно, интеграл сходится и равен .
Аналогично интегралу с бесконечным верхним пределом интегрирования определяется интеграл в пределах от до b : и в пределах от до : . В последнем случае f(x) определена на всей числовой оси, интегрируема по любому отрезку; c - произвольная (собственная) точка числовой оси; интеграл называется сходящимся, если существуют и конечны оба входящих в определение предела. Пользуясь свойством аддитивности определённого интеграла, можно показать, что существование конечных пределов и их сумма не зависят от выбора точки c.
Примеры: 3. . Интеграл сходится.
4. следовательно, интеграл сходится и равен .
Очевидно следующее утверждение, которое мы сформулируем для интеграла с бесконечным верхним пределом: сходится тогда и только тогда, когда для любого c, удовлетворяющего неравенству c > a, сходится интеграл (док-во: так как при a < c < b по свойству аддитивности , и от b не зависит, то конечный предел при для интеграла в левой части существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел для интеграла в правой части равенства).


Примеры:
7. . На всём промежутке интегрирования ; интеграл сходится (p = 7 > 1 ), поэтому исходный интеграл сходится;
8. . Здесь при , расходится (p = 2/3 < 1), поэтому исходный интеграл расходится;
9. . Здесь сравнить подынтегральную функцию с какой-либо степенью x невозможно, так как числитель - неограниченная функция, поэтому рассуждаем по-другому. При ln x - бесконечно большая низшего порядка по сравнению с любой положительной степенью x, поэтому ограниченная функция, поэтому , интеграл от большей функции сходится, следовательно, исходный интеграл тоже сходится;
10. . На всём промежутке интегрирования (отбросив бесконечно большие низших порядков в числителе и знаменателе, мы увеличили числитель и уменьшили знаменатель); интеграл сходится, поэтому исходный интеграл сходится.
Теперь рассмотрим . Понятно, что бесконечно большие низших порядков в числителе и знаменателе не влияют на сходимость интеграла; в то же время, отбросив их, мы уменьшим подынтегральную функцию, а из сходимости интеграла от меньшей функции не следует сходимость интеграла от большей функции. Можно рассуждать так: при достаточно больших x выполняются неравенства , поэтому и т.д., однако при решении таких задач проще применить другой признак сравнения - предельный.


Признак сравнения в предельной форме Примеры:
11. . При эквивалентна функции , поэтому интеграл сходится.
12. . При эквивалентна функции , поэтому интеграл расходится.
13. . При эквивалентна функции , поэтому интеграл расходится.
14. . При эквивалентна функции , поэтому интеграл расходится.

 


Примеры исследования интегралов на абсолютную сходимость:
15. . ; интеграл от большей функции сходится, следовательно, сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.
16. . , первый множитель, , стремится к нулю при , следовательно, ограничен: , интеграл от последней функции сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.
Приведённые примеры показывают, что переход от к и применение к последнему интегралу методов исследования на сходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, в случае его сходимости, позволяет сделать вывод и о сходимости (притом, абсолютной) исходного интеграла. Если же интеграл от | f(x)| расходится, решение задач значительно усложняется.
Пример: исследовать на сходимость интеграл .
1. Докажем, что этот интеграл сходится. Интегрируем его по частям: .

Для последнего интеграла , т.е. он сходится абсолютно, следовательно, исходный интеграл сходится.
2. Докажем, что для исходного интеграла абсолютной сходимости нет, т.е. что расходится. Так как , то , для последнего интеграла, по доказанному выше, существует конечный предел при , для предыдущего - нет, следовательно, расходится.
Вывод - исходный интеграл сходится условно.


Примеры: 17. - интеграл расходится;
18. - интеграл сходится.


Применение формулы Ньютона-Лейбница
Примеры: 19. (интеграл сходится).
20. (интеграл расходится).
В следующих дальше случаях неограниченности функции будем поступать аналогично.


Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)