Формула Грина Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных Решение примерного варианта контрольной работы Производные ФНП высших порядков Функции комплексной переменной Векторное поле

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

Интегрирование дифференциального бинома. Выражение вида , где  – рациональные числа, а  – действительные числа, называется дифференциальным биномом.

Рассмотрим интеграл

. (6.43)

Как показал Чебышев П.Л., интеграл (16.43) рационализируется лишь в следующих трех случаях:

если  – целое число, то применяется подстановка  , где  – наименьшее общее кратное знаменателей дробей  и ;

если  – целое число, то применяется подстановка  , где  – знаменатель дроби ;

если  – целое число, то применяется подстановка , где  – знаменатель дроби .

Во всех остальных случаях интеграл (16.43) через элементарные функции не выражается.

Пример 41. Найти .

○ Здесь имеем . Так как  , то в соответствии со случаем 3), делаем подстановку

    , . Таким образом,

  ●.

Интегралы вида . Среди интегралов от иррациональных функций такие интегралы имеют наибольшие практическое применение. Рассмотрим несколько способов интегрирования этих функций.

Выделив под знаком радикала полный квадрат в квадратном трехчлене и сделав подстановку , исходный интеграл приводится к интегралу одного их следующих трех типов: 1) ; 2) ; 3) .

Четвертая комбинация знаков  приводит нас к подынтегральной функции, которая не существует в действительной области.

Покажем, что интегралы этих трех видов с помощью соответствующих тригонометрических подстановок приводятся к интегралам вида .

1) Применяя подстановку  , получим  ,

.

. (6.44)

2) Применяя подстановку  , получим  ,

.

. (6.45)

3) Применяя подстановку  , получим  ,

.

. (6.46)

Интегралы вида , как известно, могут быть выражены через интегралы от рациональных алгебраических функций.

Пример 42. Найти .

○ В соответствии с 2) применим подстановку  . Тогда , . Следовательно,

,

так как . ●

Метод неопределенных коэффициентов. Вычисление интегралов вида   часто сводится к нахождению интегралов следующих трех типов:

1. ; 2. ;

3. ,

где  – многочлен, .

Покажем, что интегралы 2-го и 3-го типов могут быть сведены к интегралу 1-го типа.

Действительно,

где  - многочлен.

Для приведения интеграла 3-го типа к интегралу 1-го типа применяется подстановка , , . Тогда,

,

где  – коэффициенты трехчлена, полученные после приведения подобных членов,  – многочлен.

Интегралы 1-го типа всегда можно представить в виде

, (6.47)

где  – многочлен -й степени с неопределенными коэффициентами,  – также неопределенный коэффициент.

Для нахождения неопределенных коэффициентов применяется метод неопределенных коэффициентов (метод Остроградского М.В.*), согласно которому дифференцируют обе части равенства (6.47), затем умножают на  и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , определяют   и коэффициенты многочлена .

Пример 43. Найти .

○ По формуле (6.47) имеем:

.

Дифференцируя это равенство, затем умножая на  и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , определим коэффициенты :

;

;

  .

Следовательно,

. ●

Интегралы вида  где , в общем случае не выражается через элементарные функции. При этом, если  или , то они называются эллиптическими, если же , то – ультраэллиптическими. В некоторых частных случаях интегралы  могут выражаться и через элементарные функции, они называются псевдоэллиптическими.


Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)