Формула Грина Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных Решение примерного варианта контрольной работы Производные ФНП высших порядков Функции комплексной переменной Векторное поле

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

Интегрируем многочлен и полученную сумму простейших дробей.

Пример 33. Найти интегралы от рациональных дробей примеров 30 ÷ 32.

○  1) 

.

.

.

Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене  . Сделаем подстановку . Тогда  и

.

.

.

.

.

.

.

  . ●

 

Пример 34. Найти .

○ Используя подстановку , с учетом соотношений (16.40), получим

.  ●

Хотя подстановка  интеграл  всегда приводит к интегралу от рациональной функции, но очень часто это ведет к слишком громоздким преобразованиям. Поэтому во многих случаях целесообразно пользоваться другими методами нахождения этого интеграла. В частности, удобны следующие правила:

Если функция  нечетна относительно , т.е. , то удобна подстановка ;

Если функция  нечетна относительно , т.е. , то рекомендуется применять подстановку ;

Если функция  четна относительно  и , т.е. , то вводим подстановку .

Часто подынтегральную функцию  можно представить в виде . В этом случае также используется подстановка , для которой ; .

Подстановку  целесообразно применять к интегралам вида

.  (6.42)

Пример 35. Найти .

○ 

.  ●

Интегралы вида . Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы:

Если , то полагая , , получим

.

Последний интеграл находим методом разложения.

Пример 36. Найти .

○ 

.  ●

Если , то полагая , , получим

.

Интеграл  также находится методом разложения.

Если ,  и  от – целые числа, то интеграл приводится к виду

 (при )  или  (при ).

В первом случае полагаем . Тогда, используя формулу СР: (6.16), получим

    и .

Во втором случае полагаем . Тогда, используя формулу СР: (6.17), получим

    и .

Полученные интегралы, после деления многочленов по правилу “деления углом” (СР: 1.4), находим методом разложения.

Пример 37. Найти .

○ 

.  ●

Если – четное отрицательное число, то интеграл приводится к виду

  или  .

В первом случае полагаем , откуда  и

.

Во втором случае полагаем  и аналогично находим, что

.

При  или   получим интегралы

.

Пример 38. Найти .

○ . ●

Если – целое нечетное отрицательное число и , то применяя подстановку , с учетом (16.40), получим

  .

Если – целое нечетное отрицательное число и , то интеграл имеет вид  .

Его удобнее вначале преобразовать к виду 5) с помощью подстановки . Тогда , .

7) Если   и  – целые четные положительные числа (одно из чисел  или  может быть равно нулю), то интеграл целесообразно находить, используя формулы СР: (7.9); (7.18); (7.19).

Пример 39. Найти .

○ 

.  ●

Рассмотрим некоторые случаи рационализации интегралов, содержащих иррациональные функции.

Интегралы вида . Рассмотрим интегралы указанного типа, где  – и действительные числа;  – рациональные числа.

Пусть  – наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей, т.е. , , где  – целые числа. Покажем, что такой интеграл рационализируется подстановкой .

В самом деле,

    и ,

так что

,

где  – рациональная функция аргумента .

Пример 40. Найти .

○ В рассматриваемом интеграле наименьшее общее кратное знаменателей дробей ,  и  есть 12. Поэтому вводим замену , , . Следовательно,

.  ●


Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)