Формула Грина Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных Решение примерного варианта контрольной работы Производные ФНП высших порядков Функции комплексной переменной Векторное поле

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

Интегрирование по частям иногда приводится к интегралу, совпадающему с исходным или сводящемуся к нему. В этом случае интеграл находится из решения алгебраического уравнения, в котором неизвестным является искомый интеграл.

Пример 26. Найти .

○ Произведем тождественные преобразования, умножив и разделив подынтегральную функцию на .

.

К последнему интегралу применим формулу (6.18)

Подставляя последний результат в полученное ранее выражение данного интеграла, будем иметь

.

Решая это уравнение относительно , окончательно получим

. ● (6.24)

Аналогично находим

. (6.25) [an error occurred while processing this directive]

Пример 27. Найти .

.

Таким образом, получаем уравнение

,

откуда

. ● (6.26)

Аналогично находим

. (6.27)

Часто интегрирование по частям приводит к рекуррентной формуле, т.е. формуле, позволяющей последовательно вычислять интегралы, исходя из известного начального интеграла.

Пример 28. Найти .

○ Произведем над подынтегральной функцией следующие тождественные преобразования:

.

К последнему интегралу применим формулу (6.18)

.

Подставляя последний результат в полученное ранее выражение данного интеграла, будем иметь

 (6.28)

где .

Таким образом, зная интеграл , по рекуррентной формуле (6.28) можно найти интеграл . Например, при  имеем

. ● (6.29)

Для интегралов вида

 и ,

где , также можно получить рекуррентные формулы, позволяющие понижать степень  и тем самым позволяющие в конечном итоге свести интегрирование к ТИ: 27; 28. Действительно, интегрируя по частям и используя ТИ: 27; 28, получим

,

.

При применении к формулам (6.24) – (6.28) свойства 6.5º, получим ТИ: 25 ÷ 29.

Иногда при нахождении неопределенного интеграла приходится применять различные методы интегрирования.

Пример 29. Найти .

○ Обозначим х2 = t, тогда dt = 2x dx. Следовательно,

. ●

Перейдем теперь к интегрированию некоторых видов элементарных функций. При этом мы систематически будем пользоваться изложенными в этом параграфе общими методами интегрирования.


Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)