Формула Грина Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных Решение примерного варианта контрольной работы Производные ФНП высших порядков Функции комплексной переменной Векторное поле

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной).

Пример 15. Найти .

Выделяя полный квадрат в квадратном трехчлене, согласно СР: (2.2), получим .

Положим   , тогда . Следовательно,

. ●

Интегралы вида

  (6.16.)

сводятся к рассмотренным выше интегралам с помощью подстановки . [an error occurred while processing this directive]

Пример 16. Найти .

○ Положим   , тогда . Следовательно,

. ●

Пример 17. Найти .

○ Положим   , тогда . Следовательно,

. ●

При замене переменной в неопределенном интеграле часто оказывается проще задавать не , как функцию от , а, наоборот, задавать  как функцию от .

Так, если интеграл имеет вид , то его можно упростить с помощью подстановки ,  и найти интеграл аналогично (6.15), т.е.

. (6.17)

Пример 18. Найти .

○ Обозначим , тогда . Следовательно,

. ●

Пример 19. Найти .

○ Обозначим , тогда . Следовательно,

. ●

Пример 20. Найти .

○ Обозначим , тогда  . Следовательно,

. ●

Общих методов подбора подстановок не существует и удачный ее выбор обычно сопряжен с известными трудностями. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифференцирования и хорошо знать табличные интегралы.

Метод интегрирования по частям

Пример 21. Найти .

○ Положим , . Тогда , а  . Подставляя найденные выражения в (6.18), получим

. ●

Пример 22. Найти .

. ●

В отдельных случаях формулу (16.18) приходится использовать несколько раз.

Пример 23. Найти .

. ● (6.20)

Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно находить с помощью формулы (16.18)

 

Пример 24. Найти .

○ 

. ●

Интеграл вида

, (6.23)

где .

Он выражается через элементарные функции, если последовательно применять формулу (16.18), полагая , , а .

Пример 25. Найти .

○ 

. ●


Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)