Формула Грина Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных Решение примерного варианта контрольной работы Производные ФНП высших порядков Функции комплексной переменной Векторное поле

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

Пример. Функция  есть первообразная для функции  на , поскольку  .

Функция  является первообразной для функции , так как , .

Функция  является первообразной для функции   на интервале , так как  . ●

Очевидно, что функции ,  и  , где , будут также первообразными для соответствующих функций , поскольку для них выполняется равенство (16.1).

 

Пример 2. Для функции  найти первообразную, которая при  принимает значение .

○ В примере 1 было установлено, что . Подставим в это выражение начальные условия , ; получим , откуда . Следовательно, искомая первообразная имеет вид . ●

В гл.17 будет показано, что достаточным условием интегрируемости функции на некотором промежутке является непрерывность функции на этом промежутке. А пока будем считать, что всюду в данной главе осуществляется интегрирование непрерывных функций.

Если функция, для которой мы ищем первообразную, разрывна, то мы будем ее рассматривать только в тех интервалах, где она непрерывна.

Методы интегрирования замены переменной и интегрирование по частям. Интегрирования выражений, содержащих квадратный трехчлен.

Пример 3. ○

*

.●

Пример 4. ○

  (вывод формулы 8). ●

Пример 5. ○

  (вывод формулы 12). ●

Пример 6. ○

  (вывод формулы 20). ●

Пример 7. ○

  (вывод формулы 23). ●

Пример 8. ○

  . ●

Для нахождения интегралов вида

 ,  (6.11)

используются формулы СР: (7.31) ÷ (7.33), а при нахождении интегралов вида

 (6.12)

используются формулы  СР: (7.18); (7.19).

Пример 9. ○

. ●

Пример 10. ○

. ●

Пример 11. Найти

○ Выделяя в квадратном трехчлене полный квадрат, согласно , получим

.●

Пример 12. Найти

○ Используя , получим

  ●

Применяя сочетание методов подведения под знак дифференциала и разложения, интегралы вида

  и  (6.13)

путем выделения в числителе производной  квадратного трехчлена и выделения полного квадрата в квадратном трехчлене, приводятся к табличным интегралам.

Пример 13. Найти

○ Имеем  Используя , получим

   ●

Пример 14. Найти

○ В данном случае подынтегральная функция является неправильной дробью . Путем деления числителя на знаменатель  и применения формулы , получим

    ●

Как видно, нахождение интегралов иногда требует некоторой изобретательности, которая приобретается в результате решения значительного числа примеров.


Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)