Формула Грина Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных Решение примерного варианта контрольной работы Производные ФНП высших порядков Функции комплексной переменной Векторное поле

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

Раскрытие некоторых типов неопределенностей.

Пример 3. Вычислить 

Имеем неопределенность вида . Чтобы раскрыть ее, разделим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на наивысшую из имеющихся в числителе и знаменателе степеней , т.е. на . Затем, применяя (11.5), (11.3), (11.6) и теорему 11.4, найдем

 

 .

Пример 5. Вычислить 

Применяя тот же прием, что в предыдущем примере, находим

.

Пример 6. Вычислить .

Разделив почленно числитель и знаменатель на , получим

.

Решения последних трех примеров позволяют записать следующую общую формулу:

   (4.25)

Пример 7. Найти предел последовательности 

Символ n! (читается “эн факториал”) вычисляется по формуле (СР 9.2), т.е.

,

.

Имеем

.

Пример 8. Вычислить 

.

Пример 9. Вычислить 

  .

Пример 10. Вычислить 

  .

 

Пример 12. Доказать, что при  

 . (11.20)

 При   доказательство очевидно. Пусть , тогда последовательность  – монотонно убывающая и ограничена снизу (). Следовательно, по теореме 11.6 последовательность   имеет предел, который обозначим через . Последовательность , за исключением первого члена, также сходится к числу , т.е. . Отсюда следует, что

, т.е.

или . Так как , то .

Пусть . Рассмотрим

 .

Пример 13. Вычислить .

 При   получается неопределенность вида . Поэтому сначала разделим числитель и знаменатель выражения, стоящего под знаком предела, на . Затем, применяя (11.5), (11.3), (11.6) и (11.20), найдем

.

Число е . Рассмотрим последовательность

.

Придавая  различные натуральные значения, получаем таблицу:

1

2

10

100

1000

10000

100000

2

2,25

2,594

2,705

2,717

2,718

2,718

Из таблицы видно, что  с возрастанием  изменяется все медленнее и, по-видимому, стремиться к некоторому пределу. Докажем это.

Согласно неравенству Бернулли (10.1), . Обозначим . Тогда для последовательности  имеем . Выполнив преобразования над отношением

, получим, что .

Итак, последовательность  монотонно убывает и ограничена снизу числом 2.

Следовательно, она имеет конечный предел, причем, , т.е. последова-тельность  тоже имеет предел. Этот предел принято обозначать буквой е:

.  (4.29)

Число е иррациональное, которое называют неперовым* числом. Его приближенное значение равно 2,72 (). Число е принято за основание натуральных логарифмов, которые обозначаются , т.е. .

Найдем связь между натуральными и десятичными логарифмами. По определению логарифма (СР 4.2) имеем . Прологарифмируем обе части равенства по основанию 10:

, т.е. .

Пользуясь таблицей десятичных логарифмов, находим . Число М называется модулем перехода от натуральных логарифмов к десятичным. Значит,

   . (11.22)

Полученные формулы дают связь между натуральными и десятичными логарифмами.

Число е часто используют для раскрытия неопределенности [].

Пример 14. Вычислить .

 При   получается неопределенность вида []. Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела так, чтобы использовать (11.21).

[]

.

К числу е приводят решения многих прикладных задач статистики, физики, биологии, химии и др., анализ таких процессов, как рост народонаселения, распад радия, размножение бактерий и т.п.


Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)