Формула Грина Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных Решение примерного варианта контрольной работы Производные ФНП высших порядков Функции комплексной переменной Векторное поле

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

Метод Гаусса

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Пример 1.13. Решить систему уравнений методом Гаусса:

 x + y - 3z = 2,

 3x - 2y + z = - 1,

 2x + y - 2z = 0.

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:

а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:

  ~ ;

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:

.

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:

  x + y - 3z = 2,

 -5y + 10z = -7,

 - 10z = 13.

Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим
x = - 0,7.

 

Пример 1.14. Решить методом Крамера систему уравнений:

  x1 + x2 + x3 + x4 = 5,

 x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = -2,

 2x1 - 3x2 - x3 - 5x4 = -2,

 3x1 + x2 +2x3 + 11 x4 = 0.

Решение. Главный определитель этой системы

D =  = -142 ¹ 0,

значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители D i (i=), получающиеся из определителя D путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при xi, столбцом из свободных членов:

D 1 =  = - 142, D 2 =  = - 284,

D 3 =  = - 426, D 4 =  = 142.

Отсюда x1 = D 1/D = 1, x2 = D 2/D = 2, x3 = D 3/D = 3, x4 = D 4/D = -1, решение системы - вектор С=(1, 2, 3, -1)T.

Матричный метод

Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е.
det A ¹ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (5.3) совпадает с вектором C = A-1B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A-1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.

Пример 1.15. Решить матричным способом систему уравнений

 x1 - x2 + x3 = 6,

 2x1 + x2 + x3 = 3,

  x1 + x2 +2x3 = 5.

Решение. Обозначим

A = , X = (x1, x2, x3)T, B = (6, 3, 5) T.

Тогда данная система уравнений запишется матричным уравнением AX=B. Поскольку D = det =5 ¹ 0, то матрица A невырождена и поэтому имеет обратную:

А-1 = 1/D .

Для получения решения X мы должны умножить вектор-столбец B слева на матрицу A: X = A-1B. В данном случае

A-1 =

и, следовательно,

= .

Выполняя действия над матрицами, получим:

  x1 = 1/5(1×6+3×3-2×5) = 1/5 (6+9-10) = 1,

 x2 = 1/5 (-3×6 +1×3 - 1×5) = 1/5 (- 18 + 3 + 5) = -2,

  x3 = 1/5 (1×6 - 2×3 + 3×5) = 1/5 (6 -6 + 15) = 3.

Итак, С = (1, -2, 3)T.

 

Пример 1.16. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна.

 x1 + x2 - 2x3 - x4 + x5 =1,

 3x1 - x2 + x3 + 4x4 + 3x5 =4,

 x1 + 5x2 - 9x3 - 8x4 + x5 =0.

Решение. Будем находить ранги матриц A и `A методом элементарных преобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду:

~  ~ .

Очевидно, что r(A) = r(`A) = 2. Исходная система равносильна следующей, приведенной к ступенчатому виду:

  x1 + x2 - 2x3 - x4 + x5 = 1,

 - 4x2 + 7x3 + 7x4 = 1.

Поскольку определитель при неизвестных x1 и x2 отличен от нуля, то их можно принять в качестве главных и переписать систему в виде:

 x1 + x2 = 2x3 + x4 - x5 + 1,

 - 4x2 = - 7x3 - 7x4 + 1,

откуда x2 = 7/4 x3 + 7/4 x4 -1/4, x1 = 1/4 x3 -3/4 x4 - x5 + 5/4 - общее решение системы, имеющей бесчисленное множество решений. Придавая свободным неизвестным x3, x4, x5 конкретные числовые значения, будем получать частные решения. Например, при x3 = x4 = x5 = 0 x1= 5/4, x2 = - 1/4. Вектор C(5/4, - 1/4, 0, 0, 0) является частным решением данной системы.

Пример 1.17. Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра а.

 2x1 - x2 + x3 + x4 = 1,

 x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = 2,

  x1 + 7x2 - 4x3 + 11x4 = a.

Решение. Данной системе соответствует матрица`А=. Имеем `А ~   ~ , следовательно, исходная система равносильна такой:

 x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = 2,

 5x2 - 3x3 + 7x4 = a-2,

  0 = a-5.

Отсюда видно, что система совместна только при a=5. Общее решение в этом случае имеет вид:

x2 = 3/5 + 3/5x3 - 7/5x4, x1 = 4/5 - 1/5x3 - 6/5x4.


Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)