Формула Грина Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных Решение примерного варианта контрольной работы Производные ФНП высших порядков Функции комплексной переменной Векторное поле

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

Пример 1.5. Вычислить определитель D = , разложив его по элементам второго столбца.

Решение. Разложим определитель по элементам второго столбца:

D = a12A12 + a22A22+a32A32=

= .

Пример 1.6. Вычислить определитель

A = ,

в котором все элементы по одну сторону от главной диагонали равны

нулю.

Решение. Разложим определитель А по первой строке:

A = a11 A11 = .

Определитель, стоящий справа, можно снова разложить по первой строке, тогда получим:

A = .

И так далее. После n шагов придем к равенству A = а11 а22... ann.

Пример 1.7. Вычислить определитель .

Решение. Если к каждой строке определителя, начиная со второй, прибавить первую строку, то получится определитель, в котором все элементы, находящиеся ниже главной диагонали, будут равны нулю. А именно, получим определитель: , равный исходному.

Рассуждая, как в предыдущем примере найдем, что он равен произведению элементов главной диагонали, т.е. n!. Способ, с помощью которого вычислен данный определитель, называется способом приведения к треугольному виду.

 

Пример 1.8. Для матрицы А =  найти обратную.

Решение. Находим сначала детерминант матрицы А
D = det А =  = 27 ¹ 0, значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле: А-1 = 1/D , где Аi j (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов аi j исходной матрицы. Имеем:  

 

 

 

  откуда А-1 = .


Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)