Формула Грина Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных Решение примерного варианта контрольной работы Производные ФНП высших порядков Функции комплексной переменной Векторное поле

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

Задача Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Требуется:

1)  представить функцию в виде w = u(x, y) +iv(x, y), выделив ее действительную и мнимую части;

2)  проверить, является ли функция w аналитической;

3)  в случае аналитичности функции w найти ее производную w′ в точке z0.

Решение.

1) Выделим действительную и мнимую части функции:

.

2) Чтобы установить аналитичность функции w, проверим выполнение условий Коши-Римана (10): [an error occurred while processing this directive]

Получили:. Условия Коши-Римана выполняются во всех точках, кроме особой точки z = 2i, в которой функции x = 0, y = 2 и функции u(x, y) и v(x, y) не определены. Следовательно, функция  – аналитическая при .

3) Найдем производную функции:

.

Вычислим значение производной функции в точке z0 = – 1 + 3i.

Ответы:

1) ;

2) функция  аналитическая при ;

3) .

 

Векторная запись формулы Остроградского. Вспомним формулировку теоремы Остроградского-Гаусса: , где - непрерывно дифференцируемое векторное поле, - замкнутая поверхность, ограничивающая объем и - вектор внешней нормали.

Левая часть формулы имеет вид , т.е. представляет собой поток через внешнюю сторону , а правую часть можно выразить следующим образом: . Итак, векторная формулировка теоремы Остроградского-Гаусса:

При сформулированных выше условиях .

14.Формула Стокса. Ее векторная запись

Теорема. Пусть - гладкая ориентированная двусторонняя поверхность (т.е. направление нормали выбрано) и - кусочно гладкая кривая, ограничивающая , причем мы считаем направление обхода положительным. Пусть функции - непрерывно дифференцируемые. Тогда .

Замечание 1. Равносильная формулировка: .

Замечание 2. В случае плоской кривой , лежащей на плоскости и функций эта формула совпадает с формулой Грина.

Замечание 3. Формулы в правой части запомнить непросто. Поэтому удобно записать подынтегральное выражение в виде определителя .


Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)