Формула Грина Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных Решение примерного варианта контрольной работы Производные ФНП высших порядков Функции комплексной переменной Векторное поле

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

Функции комплексной переменной

Пример 1. . Здесь  = x iy – число, сопряженное числу z= x+iy.

Выделим действительную и мнимую части ФКП:

 u = x2 y2 2xv = 2xy + 2y.

Вычислим значение функции w в точке z1 = 2 – 3i:

.

Тот же результат получаем непосредственной подстановкой:

.

Говорят, что ФКП f (z) = u(x, y) +iv(x, y) имеет предел в точке z0, равный числу A = a + ib, если . Обозначается: .

Существование предела ФКП w = f (z) при  в означает существование двух пределов: .

 ФКП f (z) = u(x, y) +iv(x, y) называется непрерывной в точке z0, если выполняется условие: .

 Непрерывность ФКП w = f (z) в точке z0 = x0 + iy0 эквивалентна непрерывности функций u(x, y) и v(x, y) в точке (x0, y0).

Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП

 

Пример 2. Проверить аналитичность ФКП  .

 Þ  u = x2y2 – 2xv = 2xy + 2y (см. пример 1). Проверим выполнение условий Коши-Римана:

.

Условия (10) не выполняются, следовательно, эта функция не является аналитической.

Пример 3. Проверить аналитичность ФКП .

Выделим действительную и мнимую части функции:

.

Проверим выполнение условий Коши-Римана:

.

Условия выполняются во всех точках, кроме особой точки (0, 0), в которой функции и u(x, y) и v(x, y) не определены. Следовательно, функция  аналитическая при .

 

Если функция w = f (z) аналитическая в области D, то ее производную  можно найти, используя правила дифференцирования, аналогичные правилам дифференцирования функции одной действительной переменной.

Пример 4. Вычислить значение производной функции  в точке

z0 = – 1+ i.

Функция  – аналитическая, а значит, дифференцируемая во всей своей области определения (см. пример 3). Ее производная:

.

Вычислим значение производной в точке z0 = – 1+ i:

Следовательно, .

Понятие можно определить независимым от координат способом. Для этого рассмотрим точку , окружим ее шаром радиуса и применим теорему Остроградского-Гаусса: , где - вышеупомянутый шар, а - внешняя сторона ограничивающей его сферы. К правой части применим теорему о среднем (учитывая непрерывность): , где - близкая к точка. При и мы можем определить дивергенцию равенством: , в правой части которого система координат не фигурирует.

Если считать вектором скорости жидкости, то - это плотность источника.

Циркуляция. Ротор. Пусть - контур с заданным направлением обхода, - векторное поле, - единичный вектор касательной к кривой. Определим циркуляцию как интеграл (смысл – работа силы вдоль контура ).

Введем систему координат. Пусть - направляющие косинусы , - координаты .

Тогда и циркуляция представляет собой интеграл .

Для заданного непрерывно-дифференцируемого поля определин ротор (или вихрь) этого поля: .

Легко проверить свойства ротора.

  1. , где под

понимаем векторное произведение.


Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)