Формула Грина Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных Решение примерного варианта контрольной работы Производные ФНП высших порядков Функции комплексной переменной Векторное поле

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

  Частные производные ФНП, заданной неявно

Если каждой паре чисел (x, y) из некоторой области DxOy соответствует одно или несколько значений z, удовлетворяющих уравнению , то это уравнение неявно определяет функцию 2-х переменных, например, функцию .

Если существуют частные производные функции F(x, y, z):  и , то существуют частные производные от функции (x, y), которые можно вычислить по формулам:

. (2)

Пример. Дано: . Найти  и .

Здесь . По формулам (2) находим:

 

Уравнение F(x, y, z) = 0 неявно определяет еще две функции 2-х переменных: x = x(y, z) и y = y(x, z). Частные производные этих функций можно найти по формулам, аналогичным формулам (2), например: [an error occurred while processing this directive]

 (3)

 

Производная сложной ФНП. Полная производная

 

Пусть функция z= f (x, y, t) – функция трех переменных x, y и t, причем x и y, в свою очередь, являются функциями независимой переменной t, тогда  – это сложная функция одной переменной t, а x и y – промежуточные переменные.

Полной производной по переменной t сложной ФНП  называется её производная , вычисленная как производная функции одной переменной t в предположении, что переменные x и y также являются функциями от t, то есть при x = x(t) и y = y(t).

Полная производная вычисляется по формуле:

. (4)

Здесь  – это полная производная функции z по переменной t при условии, что все другие переменные зависят от t;   – это частная производная функции z по переменной t при условии, что у функции есть другие независимые переменные, кроме t. При нахождении  зависимость переменных x, y от t не учитывается.

В полученный ответ следует подставить функции x = x(t) и y = y(t), чтобы выразить полную производную через независимую переменную t.

Площадь поверхности

Двусторонние поверхности. Рассмотрим сначала поверхность , представляющую собой график функции (1), имеющей непрерывные частные производные для всех , где - область на плоскости.

У этой поверхности, очевидно, есть 2 стороны: верхняя и нижняя. Верхняя сторона может быть охарактеризована тем, что из двух возможных направлений нормали к этой поверхности в любой ее точке выбирается то, которое составляет с осью острый угол (нижней стороне, соответственно, отвечает тупой угол между нормалью и осью ).

Пусть - точка этой поверхности, т.е. .

Уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке имеет вид (2).

Напомним, что в общем уравнении плоскости числа представляют собой координаты перпендикулярного к этой плоскости вектора. Согласно (2), - координаты некоторого нормального вектора к поверхности в точке . Этот вектор, вообще говоря, не единичный. Умножая его на один из нормирующих множителей мы получим 2 единичных вектора (3) и .

Известно, что координаты единичного вектора (3) – это косинусы углов, составляемых этим вектором с осями соответственно, т.е. . Т.к. , то . Кроме того, заметим, что .

Отметим, что , поэтому верхней стороне соответствует вектор .

Пусть - замкнутый контур, лежащий на поверхности и не пересекающей ее край. Выберем в произвольной точке этого контура одно из двух направлений нормали. Пусть при обходе этого контура нормаль меняется непрерывно. Тогда в исходную точку мы вернемся в исходным направлением нормали.

Описанное выше свойство поверхности (1) будем считать определением двусторонней поверхности (в общем случае, а не только для поверхностей вида (1)).

Бывают поверхности, не являющиеся двусторонними. Простейший пример – лист Мебиуса. Если обходить контур, то при возвращении в исходную точку направление нормали изменится на противоположное. Это доказывает одностороннесть листа Мебиуса.

В дальнейшем мы рассматриваем только двусторонние поверхности.

Обычно удобно задавать поверхности параметрическими уравнениями (4), где ( - некоторая плоская область).

При этом мы считаем, что уравнения (4) задают взаимно-однозначное соответствие между точками поверхности и точками .


Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)