Формула Грина Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных Решение примерного варианта контрольной работы Производные ФНП высших порядков Функции комплексной переменной Векторное поле

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

Задача 6. Проверить, является ли векторное поле силы  потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы  при перемещении единичной массы из точки M(0,1,0) в точку N(–1,2,3).

Решение.

Для проверки потенциальности векторного поля  найдем его ротор по формуле (19):

Следовательно, поле потенциально.

 Для проверки соленоидальности поля найдем его дивергенцию по формуле (17):

.

Следовательно, поле не соленоидально.

Для нахождения потенциала U(x, y, z) векторного поля возьмем фиксированную точку В(0, 0, 0), текущую точку С(x, y, z) и вычислим криволинейный интеграл  по ломаной ВEKC, звенья которой параллельны осям координат и E(x, 0, 0), K(x, y, 0) (см. рис. 8). По формуле (20) получим:

Получили потенциал поля , где С – произвольная постоянная. Для проверки решения найдем градиент потенциала : . Следовательно, потенциал поля силы найден верно.

 Найдем работу векторного поля  при перемещении единичной массы из точки M(0,1,0) в точку N(–1,2,3) по формуле (21):

.

Формула Грина

Эта формула обобщает формулу Ньютона-Лейбница.

Теорема 1. Пусть G - криволинейная трапеция: , где - непрерывные на функции, L - граница области G и направление обхода L выбрано так, что область G остается слева.

Пусть . Тогда .

Знак означает, что контур интегрирования L - замкнутый.

Доказательство. Вычислим .

При каждом фиксированномвеличина определяется, как производная по y функции от одной переменной y, P(x,y). Поэтому при каждом x применима формула Ньютона-Лейбница, согласно которой . Поэтому .

Разобъем кривую L на 4 участка.

. .

Поэтому .

Теорема 2. Пусть G - криволинейная трапеция , где - непрерывные на функции, L - граница G, а направление обхода L выбрано так, что G остается слева.

Пусть .

Тогда .

Доказательство.. Теорема доказана.


Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)