Формула Грина Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных Решение примерного варианта контрольной работы Производные ФНП высших порядков Функции комплексной переменной Векторное поле

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

Задача 4. Задан радиус-вектор движущейся точки:

 . Найти векторы скорости и ускорения движения этой точки через 2 минуты после начала движения.

Решение.

Вектор-функция задана в виде: .

Найдем первые и вторые производные ее проекций x(t), y(t) z(t) по аргументу t:

Найдем векторы скорости и ускорения движения точки по формулам (14) и (15):

.

Через 2 минуты после начала движения векторы скорости и ускорения будут:

, .

Ответы: , .

 Задача 5. Дано векторное поле  и уравнение плоскости d: 3x + y + 2z – 3 = 0. Требуется:

найти поток поля  через плоскость треугольника АВС где А, В, и С – точки пересечения плоскости d с координатными осями, в направлении нормали плоскости, ориентированной «от начала координат»; построить чертеж пирамиды ОАВС, где О – начало координат;

используя формулу Остроградского-Гаусса, вычислить поток поля   через полную поверхность пирамиды ОАВС в направлении внешней нормали.

Решение.

Чтобы вычислить поток поля  через плоскость треугольника АВС используем формулу (16): ПАВС =, где D – проекция треугольника АВС на плоскость xOy, F – функция, задающая плоскость d, которой принадлежит треугольник АВС.

Для построения чертежа найдем точки А, В, и С пересечения плоскости d  с координатными осями:

.

Построим чертеж пирамиды, отложив на координатных осях точки А, В, С и соединив их с началом координат O (рис. 12).

Из уравнения плоскости d: 3x + y + 2z – 3 = 0, которое имеет вид F(x, y, z) = 0, находим

 .

Поскольку все три проекции градиента положительные, то этот вектор образует с координатными осями острые углы, т.е. направлен «от начала координат» по отношению к плоскости d.

Это означает, что вектор  и орт «внешней» нормали , указанный в задаче, совпадают по направлению, поэтому вычисление потока через плоскость треугольника АВС сводится к вычислению двойного интеграла:

ПАВС = + (перед интегралом ставим знак «+»), где AOВ – проекция треугольника ABC на плоскость xOy.

 Для расстановки пределов интегрирования по треугольнику AOВ (рис. 13) найдем уравнение прямой АВ на плоскости xOy:

 Вычислим  и получим подинтегральную функцию, подставив = 2 и  (из уравнения плоскости):

.

Таким образом, поток поля  через плоскость треугольника АВС:

.

Вычислим внутренний интеграл по переменной y:

Вычислим внешний интеграл по переменной х:

.

 2) Чтобы вычислить поток поля  через полную поверхность пирамиды ОАВС, воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса:

.

 Найдем дивергенцию этого поля по формуле (17): . Для поля  получаем:

.

 Вычислим поток поля  через полную поверхность пирамиды ОАВС:

, где   – объем пирамиды ОАВС. Этот объем можно вычислить, следующим образом:

.

В результате получаем: .

Ответы: 1) ПABC = 8,5, рисунок 12; 2) ПОАВС = –2,25.

Следствие 1. Если область G можно представить как в виде трапеции , где - непрерывно дифференцируемые на функции, так и в виде , где - непрерывно дифференцируемые на функции, L - граница G, причем при ее обходе область G остается слева, то .

Примечание. Области, удовлетворяющие условиям следствия 1 - явление обычное. Например, круг , ограниченный окружностью , можно задать так: , а можно и так: .

Следствие 2. Если область G можно разбить кривыми на конечное число областей, удовлетворяющих условиям следствия 1 и L - граница G, причем направление обхода выбрано так, что область G остается слева, и P и Q удовлетворяют перечисленным выше условиям, то .

Доказательство. Ограничимся случаем, когда область G разбивается на 2 части , удовлетворяющие условиям следствия 1, кривой . Пусть ограничивает , а ограничивает . Тогда, поскольку - это часть L и кривая , а - остаток L и кривая , но проходимая в противоположном направлении (поэтому интегралы по этим добавленным участкам сократятся).

Замечание. Можно доказать формулу Грина для областей, ограниченных замкнутыми кусочно-гладкими кривыми.


Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)