Формула Грина Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных Решение примерного варианта контрольной работы Производные ФНП высших порядков Функции комплексной переменной Векторное поле

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

Некоторые приложения двойных интегралов

 Если подынтегральная функция f (x, y) º 1, то двойной интеграл от функции f (x, y) по области D равен площади области интегрирования:

.

Если область D занята тонкой пластинкой и  – поверхностная плотность распределения неоднородного материала (т.е. масса единицы площади), то при помощи двойного интеграла можно вычислить массу пластинки, ее статические моменты относительно осей координат и другие величины.

Масса пластинки: m = .

Статический момент относительно оси Ox:

. (11)

Статический момент относительно оси Oy: My = .

Все перечисленные интегралы можно вычислить в декартовых либо в полярных координатах, переходя к соответствующему повторному интегралу.

Тройной интеграл

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Пусть функция 3-х переменных u = f (x, y, z) задана и непрерывна в замкнутой области V xOyz. Тройной интеграл от этой функции по области V имеет вид: , где .

Если область V – правильная в направлении оси Oz (рис. 5), то ее можно задать системой неравенств:  где z = z1 (x, y) и z = z2 (x, y) – это уравнения поверхностей, ограничивающих область (тело) V соответственно снизу и сверху (рис. 5).

 Если область D можно задать системой неравенств

 то

В этом случае тройной интеграл от функции u = f (x, y, z) по области V можно вычислить при помощи трехкратного повторного интеграла:

.

Здесь каждый внутренний интеграл вычисляется по «своей» переменной интегрирования в предположении, что переменные интегрирования внешних интегралов остаются постоянными.

Существует всего 6 вариантов сведения тройного интеграла к трехкратному в декартовых координатах (в зависимости от выбранного порядка интегрирования).

Кратные и криволинейные интегралы

Двойной интеграл в декартовых координатах

Пусть функция определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D плоскости OXY. Разобьем область D произвольным образом на элементарные ячейки , в каждой из которых зафиксируем точку . Составим сумму , называемую интегральной, которая соответствует данному разбиению D на части и данному выбору точек .

Если существует предел последовательности интегральных сумм при – диаметры ячеек ) и этот предел не зависит ни от способа разбиения области D на элементарные ячейки, ни от выбора точек , то он называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D и обозначается .

Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двукратных (повторных) интегралов. Пусть область D ограничена кривыми , причем , а функции непрерывны на отрезке (рис.1).

Прямая, параллельная оси OY, пересекает границу области D не более чем в двух точках. Такую область D называют простой и правильной в направлении оси OY. Тoгда

,

Рис. 1

причем сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной Y, а полученный интеграл интегрируется по X.

Если на отрезке [a,b] верхняя или нижняя граница области D

Рис. 2

задается несколькими аналитическими выражениями, то область D следует разбить на количество областей, равное числу аналитических выражений верхней (или нижней) границы области (рис.2), причем двойной интеграл по области D в этом случае равен сумме двойных интегралов по полученным областям.

В том случае, когда область D ограничена кривыми , непрерывными на [c,d], прямыми y = c и y = d, область D является простой и правильной в направлении оси OХ (рис. 3).

Рис. 3


Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)