Формула Грина Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных Решение примерного варианта контрольной работы Производные ФНП высших порядков Функции комплексной переменной Векторное поле

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

Двойной интеграл

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Пусть функция 2-х переменных z = f (x, y) задана и непрерывна в замкнутой области xOy. Двойной интеграл от этой функции по области D имеет вид: , где .

Область xOy называется правильной в направлении оси Oy, если всякая прямая, параллельная оси Oy пересекает границу области не более, чем в двух точках (за исключением участков границы, параллельных Oy).

Если область D – правильная в направлении оси Oy (рис. 2), то ее можно задать системой неравенств:

В этом случае двойной интеграл от функции z = f (x, y) по области D можно вычислить при помощи двукратного (повторного) интеграла:

.

Здесь внутренний интеграл вычисляется по переменной y в предположении, что x – постоянная (x = const); результатом вычисления внутреннего интеграла является некоторая функция Ф (x). Затем вычисляется внешний интеграл от Ф (x) по переменной x в постоянных пределах, в результате получается число.

Пример. Вычислить , если , D:

Если область D – правильная в направлении оси Oх (рис. 3), то она задается системой неравенств:  и тогда двойной интеграл сводится к повторному интегралу по формуле:

.

Здесь внутренний интеграл вычисляется по переменной x в предположении, что y = const; результатом вычисления внутреннего интеграла является некоторая функция от y, которая затем интегрируется в постоянных пределах.

Если область D – правильная в обоих направлениях, то повторный интеграл не зависит от порядка интегрирования, и для вычисления двойного интеграла можно использовать любой из двух порядков интегрирования:

.

 Если область D – неправильная в обоих направлениях, то ее можно разбить на правильные части и воспользоваться свойством аддитивности двойного интеграла: .

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Пусть область D задается в полярных координатах системой неравенств  Такая область (рис. 4) является правильной в полярной системе координат (каждый луч, выходящий из полюса, пересекает границу области не более, чем в 2-x точках, за исключением участков границы, совпадающих с некоторым полярным лучом).

Преобразование двойного интеграла по области D к полярным координатам осуществляется при помощи формул

:

.

Полученный двойной интеграл в полярных координатах может быть сведен к повторному интегралу при помощи неравенств, задающих область D. В результате получаем формулу перехода от двойного интеграла к повторному интегралу в полярных координатах:

.

Замечание. Для нахождения оригиналов изображений, представленных в виде рациональных дробей, следует разложить эту дробь на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами.

Решение дифференциальных уравнений методом операционного исчисления

Пусть дано дифференциальное уравнение:

,

где f(t) – оригинал, а (i = 1,2,..,n) – постоянные коэффициенты. Будем искать решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям . Обозначим изображение исходной функции , после чего найдем изображения правой и левой частей уравнения. Получив вспомогательное уравнение, разрешим его относительно X(p) и найдем оригинал его, то есть x(t).

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение

при начальных условиях .

Решение. Полагая

,

получим операторное уравнение с учетом

Так как имеет корни и , то

.

Значит, .

Разложим X(p) на простейшие дроби:

.

Отсюда

  .

Подставим в обе части этого тождества p=1. Тогда имеем

.

Полагая , получим

, откуда . Далее, подставляя найденные A и C в тождество, получим

.

Приравнивая свободные члены в обеих частях тождества, получаем уравнение для определения B:

а . И следовательно, .


Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)