Формула Грина Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных Решение примерного варианта контрольной работы Производные ФНП высших порядков Функции комплексной переменной Векторное поле

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

Частные производные ФНП, заданной неявно

Если каждой паре чисел (x, y) из некоторой области DxOy соответствует одно или несколько значений z, удовлетворяющих уравнению , то это уравнение неявно определяет функцию 2-х переменных, например, функцию .

Если существуют частные производные функции F(x, y, z):   и , то существуют частные производные от функции z (x, y), которые можно вычислить по формулам:

. (2)

Пример. Дано: . Найти  и .

Здесь . По формулам (2) находим:

 

Уравнение F(x, y, z) = 0 неявно определяет еще две функции 2-х переменных: x = x(y, z) и y = y(x, z). Частные производные этих функций можно найти по формулам, аналогичным формулам (2), например:

. (3)

Производная сложной ФНП. Полная производная

Пусть функция z= f (x, y, t) – функция трех переменных x, y и t, причем x и y, в свою очередь, являются функциями независимой переменной t, тогда  – это сложная функция одной переменной t, а x и y – промежуточные переменные.

Полной производной по переменной t сложной ФНП  называется её производная , вычисленная как производная функции одной переменной t в предположении, что переменные x и y также являются функциями от t, то есть при x = x(t) и y = y(t).

Полная производная вычисляется по формуле:

. (4)

Здесь  – это полная производная функции z по переменной t при условии, что все другие переменные зависят от t;  – это частная производная функции z по переменной t при условии, что у функции есть другие независимые переменные, кроме t. При нахождении  зависимость переменных x, y от t не учитывается.

В полученный ответ следует подставить функции x = x(t) и y = y(t), чтобы выразить полную производную через независимую переменную t.

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение

. (1)

Если все коэффициенты этого уравнения постоянны, то уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами. Уравнение , которое получается из исходного уравнения заменой функции y единицей, а y и y соответствующими степенями k, называется характеристическим уравнением.

Если корни характеристического уравнения действительны и различны, то есть , то решение уравнения (1) с постоянными коэффициентами находят по формуле .

В случае действительных равных корней характеристического уравнения, то есть , общее решение (1) выражается формулой , а паре комплексно-сопряженных корней соответствует .

Пример 6. Найти общее решение уравнения .

Решение. Составим характеристическое уравнение для дифференциального уравнения: . Его корни

действительны и различны. Поэтому общее решение .

Пример 7. Решить уравнение y +4y +4y =0.

Решение. Характеристическое уравнение имеет два кратных корня , поэтому искомое общее решение .

Пример 8. Решить уравнение y +4y +13y =0.

Решение. Составим характеристическое уравнение . Корни этого уравнения комплексно-сопряженные. Общее решение исходного уравнения: .


Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)