Формула Грина Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных Решение примерного варианта контрольной работы Производные ФНП высших порядков Функции комплексной переменной Векторное поле

Задачи типового расчета по математике. Решение курсовой, контрольной, самостоятельной работы

Пример выполнения задания 5

Вычислить криволинейный интеграл первого рода

РЕШЕНИЕ а) Судя по уравнению кривой интегрирования, интеграл нужно вычислять по формуле (28):

РЕШЕНИЕ b) В этом пункте кривая задана параметрическими уравнениями, поэтому интеграл вычисляем по формуле (30):

5. Пример выполнения задания 6

Криволинейный интеграл второго рода 

численно равен работе

силы  на пути MN. На этом физическом смысле криволинейного интеграла второго рода основано задание 6: вычислить работу силы  при перемещении точки по ломаной линии MNV.

Задана сила

точки М(3; l), N(-1; 5), V(0; 7).

 РЕШЕНИЕ Интеграл по ломанной линии MNV вычисляем суммой двух интегралов: по отрезку прямой MN и отрезку NV. Определим уравнение прямой интегрирования MN, как уравнение прямой, проходящей через две точки

Таким образом

Работу вычисляем по формуле

где

 Криволинейный интеграл вычисляем по формуле (35):

Затем определяем уравнение прямой, проходящей через точки N, V. Получим у = 2х + 7, dy = 2dx. Применяем формулу (35):

Двойной интеграл по такой области вычисляют по формуле

.

Если область D правильна в направлении обеих координатных осей (рис. 4), то двойной интеграл по такой области можно вычислять в любом порядке: .

Рис. 4

Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть область D ограничена линией r = r( ) и лучами = и = , где и r – полярные координаты точки на плоскости, связанные с ее декартовыми координатами x и y

Рис. 5

соотношениями (рис. 5). В этом случае


Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)