Задачи типового расчета по математике. Итоговая контрольная за 1 курс

Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению Говорят, что в двумерной области D xOyзадано скалярное поле, если в каждой точке M(x, y) Î Dзадана скалярная функция координат точки: U(M) = U(x, y).

Функции комплексной переменной

Некоторые приложения тройных интегралов

Векторная функция скалярного аргумента Если каждому значению параметра tиз некоторого промежутка   ставится в соответствие по некоторому правилу определенный вектор, то говорят, что задана вектор-функция скалярного аргумента t: .

Векторное поле Поток векторного поля через поверхность

Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между интегралом по замкнутой поверхности σ  в направлении ее «внешней» нормали и тройным интегралом по области V, ограниченной этой поверхностью

Задача Дана функция z= cos2 (2xy).

Задача. Найти частные производные  и , если переменные x, y, и z связаны равенством 

Дана функция двух переменных: z = x2xy + y2 – 4x+ 2y + 5 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости xОy:x = 0, y = –1, x + y = 3. 

Задача Поверхность  задана уравнением z =  + xy – 5 x3 . Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0 , y0 , z0 ), принадлежащей ей, если x0 = –1, y0 = 2.

Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i.

Задача. Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси Ox тонкой однородной пластинки, имеющей форму области D, ограниченной заданными линиями: . Построить чертеж области интегрирования.

Задача Вычислить работу силы  при перемещении точки приложения силы вдоль заданной кривой L:  от точки B до точки C, если значения параметра t в точках B и C заданы: .

Дано векторное поле  и уравнение плоскости d: 3x + y + 2z – 3 = 0.

Задача Проверить, является ли векторное поле силы  потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы   при перемещении единичной массы из точки M(0,1,0) в точкуN(–1,2,3).

Метод Гаусса Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных

Использование систем линейных уравнений при решении экономических задач Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице

Составьте уравнения прямых, проходящих через точку A(3,1) и наклоненных к прямой 2x+3y-1 = 0 под углом 45

Cоставьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.

Пример. Исследовать на четность и нечетность функцию .

Раскрытие некоторых типов неопределенностей.

Рассмотрим задачу о непрерывном начислении процентов.

Пример Найти . Решение. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю:, x-9®0, т.е. имеем неопределенность вида .

Пример. Функция  есть первообразная для функции  на , поскольку  .

Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной). Пример . Найти . Выделяя полный квадрат в квадратном трехчлене, согласно СР: (2.2), получим .

Интегрирование по частям иногда приводится к интегралу, совпадающему с исходным или сводящемуся к нему. В этом случае интеграл находится из решения алгебраического уравнения, в котором неизвестным является искомый интеграл. Пример.

Разложить рациональные дроби на сумму простейших дробей, не находя коэффициентов разложения

Интегрируем многочлен и полученную сумму простейших дробей

Интегрирование дифференциального бинома. Выражение вида , где  – рациональные числа, а  – действительные числа, называется дифференциальным биномом.

Использование понятия неопределенного интеграла в экономике Рассмотрим различные соотношения между суммарными, средними и маргинальными величинами, использующие понятие неопределенного интеграла.

Понятие корня Алгебраические выражения, содержащие операцию извлечения корня, называются иррациональными. Корнем n-й степени из числа a называется такое число b, n-я степень которого равна a (n ≥ 2). Обозначается , где a - подкоренное выражение (или число), n - показатель корня (n ≥ 2; n ϵ N).

Комплексные числа Комплексным числом z называется пара (x, y) действительных чисел x и y. При этом равенство, сумма и произведение упорядоченных пар, а также отождествление некоторых из них с действительными числами определяются следующим образом

Деление отрезка в заданном отношении. Координаты середины отрезка. Определение площади треугольника по известным координатам его вершин. Площадь многоугольника

Кривые второго порядка: гипербола, парабола Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных фиксированных точек (фокусов) гиперболы есть одна и та же постоянная величина. Предполагается, что эта постоянная величина не равна нулю и меньше, чем расстояние между фокусами.

Полярная система координат. Переход от полярных координат к декартовым и обратно. Построение кривой, определяемой уравнением в полярных координатах В полярной системе координат основными постоянными элементами, по отношению к которым определяется положение точки на плоскости, является точка O - полюс и ось OP, которая называется полярной осью.

Основные задачи на прямую в пространстве Прямая линия в пространстве. Основные формулы: Канонические уравнения прямой линии в пространстве, или уравнения прямой с направляющими коэффициентами, имеют вид (1) ьгде x0, y0, z0 - координаты точки, через которую проходит прямая, а m, n и p - направляющие коэффициенты прямой, которые являются проекциями на координатные оси Ox, Oy, Oz направляющего вектора прямой.

Метод подведения под знак дифференциала Пусть требуется вычислить Предположим, что существуют дифференцируемые функции и , такие, что тогда Указанное преобразование подынтегрального выражения называют подведением под знак дифференциала.

Метод подстановки (замена переменной интегрирования)

Метод интегрирования по частям

Среди корней знаменателя правильной рациональной дроби имеются комплексные корни, то есть разложение знаменателя содержит множители вида Пример Вычислить интеграл

Задача . Изменить порядок интегрирования.

Полярная система координат:

Задача. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.ь

Задача. Исследовать ряд на сходимость.

Задача. Найти сумму ряда.

Найти решение задачи Коши.

Задача. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Найти неопределенные интегралы.  

Задача. Вычислить определенные интегралы

Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.

Вычислить пределы функций.

Найти момент инерции однородной круглой пластинки (x – a)2 + (y – b)2 < 4b2 относительно начала координат.

Геометрические и физические приложения Длина кривой. Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:

Вычислить циркуляцию векторного поля  по контуру Г, состоящему из частей линий   (направление обхода положительно).

Непосредственное интегрирование. Пример Найти . В простейших примерах применяется метод непосредственного интегрирования, то есть используются свойства и таблицы интегралов. А именно, при помощи тождественных преобразований подынтегрального выражения исходный интеграл сводится к табличному интегралу или к сумме табличных интегралов.

Следующая задача посвящена вычислению определённого интеграла, например Вычислить определенный интеграл 

Разберём задачу вычислении приближённого значения определённых интегралов по формуле Симпсона. Рассмотрим пример. Вычислить приближенное значение определенного интеграла  

Следующая задача об экстремумах функций двух переменных и об отыскании наибольших и наименьших значений функции двух независимых переменных. Функция ограниченная и дифференцируемая в замкнутой области достигает в этой области своего наибольшего и наименьшего значения или во внутренних точках этой области, которые являются точками стационарности функции или на её границе

Следующая задача посвящена нахождению вектора – градиента для функции нескольких переменных.

Вычислить двойной интеграл. По области D: y=x2, y=2-x2. Область D изобразить на чертеже.ь Решение: Изобразим область D. Кривые, задающие область D представляют собой параболы. Составив из их уравнений систему и решив её, найдём точки их пересечения.

Пример. Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями z=0,  z=4-y2, x2=2y.

Расчет электротехнических устройств. Физика Задачи курсовой. Машиностроительное черчение