Задачи типового расчета по математике. Тема интегралы

Неопределенный интеграл

Пример. Найти интеграл .

Пример Найти интеграл  .

Пример Вычислить интеграл .

Пример Вычислить несобственный интеграл  или установить его расходимость.

Площадь плоской криволинейной трапеции Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Табличное интегрирование.

- Попробуем выполнить замену переменной

Замена переменной и интегрирование по частям

Интегрирование рациональных функций

Интегрирование тригонометрических выражений

Двойной интеграл.

Двойной интеграл в полярных координатах

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Некоторые приложения двойных интегралов Все перечисленные интегралы можно вычислить в декартовых либо в полярных координатах, переходя к соответствующему повторному интегралу.

Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностямиПриведем решение двух задач на вычисление объемов тел, рассматривая тела с различной геометрией поверхности.

Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл . Основные свойства и приложения двойного интеграла

оценка двойного интеграла

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Изменим порядок интегрирования

С помощью двойного интеграла найти площадь фигуры, ограниченную заданными линиями. Сделать рисунок фигуры

Найти объем тела , ограниченного поверхностями

Найти массу пластинки ,

Найти массу тела , ограниченного поверхностями; ; ; ; плотность массы тела .

Вычислить криволинейный интеграл по формуле Грина; замкнутый контур () складывается из двух кривых:  и  

С помощью тройного интеграла наряду с другими величинами можно вычислить: объём области V, массу m тела V переменной плотностью

Вычисление длины дуги кривой.

Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах Цилиндрические координаты точки в пространстве - это ее полярные координаты в XOY и координата Z.

Связь сферических и декартовых координат:

Далее тройной интеграл сводится к трехкратному в соответствии с неравенствами для области V в сферических координатах

Применение тройных интегралов. Масса неоднородного тела.

Вычислим тройной интеграл

Вычисление тройного интеграла в декартовых и других координатах Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трёх однократных интегралов.  При этом дифференциал объёма равен произведению дифференциалов независимых переменных dv = dxdydz. Область интегрирования называется правильной, если прямая, проходящая через произвольную внутреннюю точку области интегрирования параллельно каждой оси координат пересекает границу области в двух точках. В правильной области можно выбрать любую последовательность интегрирования по переменным х, у, z. Вычисление начинается с построения рисунка области интегрирования по заданным уравнениям границ области. Выбрав первую переменную интегрирования, нужно построить проекцию области интегрирования на плоскость двух других переменных. Например, если первое интегрирование производится по переменной z, то будет нужна проекция области на плоскость хОу.

Приложения тройного интеграла

Декартовы координаты.

Цилиндрические координаты

Тройной интеграл в сферических координатах

Тройной интеграл Некоторые приложения тройных интегралов При помощи тройного интеграла можно вычислить массу тела, его статические моменты относительно координатных плоскостей

Сферические координаты. Отнесём теперь область интегрирования  к системе сферических координат . В этой системе координат положение точки M в пространстве определяется её расстоянием r от начала координат (длина радиуса-вектора точки), углом  между радиусом-вектором точки и осью Oz и углом  между  проекцией радиуса вектора точки на плоскость Oxy и осью Ox (рис. 6). При этом  может изменятся то 0 до а   - от 0  до .

Вычислим объем шара радиуса R.

Перейдём к вычислению моментов инерции тела относительно координатных осей

Векторное поле Поток векторного поля через поверхность

Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция

Криволинейный интеграл 1-го рода

Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода

Криволинейный интеграл второго рода

Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от вида пути интегрирования

Поверхностный интеграл первого рода

Поверхностный интеграл второго рода К понятию поверхностного интеграла 2-го рода приводит физическая задача о вычислении потока жидкости через некоторую поверхность S. При этом, в каждой точке поверхности S задаётся векторная функция (x,y,z) скорости жидкости.

Уравнение сферы радиусом R с центром в начале координат РЕШЕНИЕ Интеграл по ломанной линии MNV вычисляем  суммой двух интегралов: по отрезку прямой MN и отрезку NV. Определим уравнение прямой интегрирования MN, как уравнение прямой, проходящей через две точки

 Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси Ox тонкой однородной пластинки, имеющей форму области D, ограниченной заданными линиями:

Задача 2. Используя тройной интеграл в цилиндрической системе координат, вычислить массу кругового цилиндра, нижнее основание которого лежит в плоскости xOy, а ось симметрии совпадает с осью Oz, если заданы радиус основания R = 0,5,

Вычислить работу силы  при перемещении точки приложения силы вдоль заданной кривой L:  от точки B до точки C, если значения параметра t в точках B и C заданы:

Задача 4. Задан радиус-вектор движущейся точки: . Найти векторы скорости и ускорения движения этой точки через 2 минуты после начала движения.

Задача 6. Проверить, является ли векторное поле силы  потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы  при перемещении единичной массы из точки M(0,1,0) в точку N(–1,2,3).

Расчет электротехнических устройств. Физика Задачи курсовой. Машиностроительное черчение