Задачи типового расчета по математике. Тема функции

Полное приращение и полный дифференциал ФНП Полным приращением функции двух переменных z= f (xy) в точке (xy), вызванным приращениями аргументов  и , называется выражение .

Функции нескольких переменных

Определение производной функции, ее геометрический и физический смысл

Уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения

Уравнения в полных дифференциалах.

Функция нескольких переменных и ее частные производные

Полное приращение и полный дифференциал ФНП

Частные производные ФНП, заданной неявно

Подбор частного решения для линейного уравнения с правой частью специального вида

Изобразим числа на комплексной плоскости.

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции  и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной. Решение.Выделим действительную и мнимую часть функции:

Неравенство  определяет точки, лежащие на лемнискате и внутри ее.

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции  область :  плоскости . Решение. Для того чтобы найти образ области  при отображении , нужно найти образ границы  области , затем взять произвольную точку из области  и найти ее образ.

ЗАДАНИЕ 13. Вычислить работу силы  при перемещении единичной массы вдоль кривой линии пересечения двух поверхностей:  от точки  до точки 

ЗАДАНИЕ 12. Вычислить массу дуги кривой () при заданной плотности : Рассматривается случай параметрического задания кривой (). Массу плоской кривой можно вычислить с помощью криволинейного интеграла первого рода: .

Вычислить расходимость (дивергенцию) и вихрь (ротор) в произвольной точке , а также найти уравнения векторных линий поля градиентов скалярного поля .

ЗАДАНИЕ 20. Убедиться в потенциальности поля вектора

Функция нескольких переменных и ее частные производные

Производные ФНП высших порядков

Частные производные ФНП, заданной неявно Если каждой паре чисел (x, y) из некоторой области DxOyсоответствует одно или несколько значений z, удовлетворяющих уравнению , то это уравнение неявно определяет функцию 2-х переменных, например, функцию .

Пример. Дана функция . Найти ее первый дифференциал dy Решение: Воспользуемся формулой первого дифференциала.

Исходя из определения производной, найти f

дифференцируем обе части равенства по переменной  x:

ЗАДАНИЕ 16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке

ЗАДАНИЯ 19-20. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя

ЗАДАНИЕ 21. Многочлен f(x)=3x4  22x3 + 60x2  73x + 39 по степеням x представить в виде многочлена по степеням (x  2).

Стандартная формула Маклорена для основных элементарных функций

Найти асимптоты и построить эскизы графиков функций: Прямая x = a называется вертикальной асимптотой, если f(x) является бесконечно большой при x® a, то есть если f(x) =¥, и односторонней вертикальной асимптотой, если f(x) =¥ или f(x) =¥.

Чётность , нечётность, периодичность.

Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика.

Аналитическая геометрия на плоскости

Найти координаты векторов  

 Поэтому первым действием при вычислении предела функции является подстановка значения аргумента. Если при этом получилось конкретное число или бесконечность – это и есть искомый предел.

Экстремумы ФНП Локальные максимумы и минимумы ФНП

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Определение и свойства функции комплексной переменной

Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП

Общий вид криволинейного интеграла II рода (по координатам)

Векторная функция скалярного аргумента 

Практически соленоидальность векторного поля определяется при помощи его дивергенции: если во всех точках односвязной области V дивергенция векторного поля равна нулю, то это векторное поле является соленоидальным.

Задача 2. Найти частные производные . и , если переменные x, y, и z связаны равенством 4x2 y ez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x = 0

Задача 4. Дана функция двух переменных: z = x2 – xy + y2 – 4x + 2y + 5 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости xОy: x = 0, y = –1

Задача 5. Поверхность задана уравнением z =  + xy – 5x3. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0), принадлежащей ей, если x0 = –1, y0 = 2

Задача 6. Дано плоское скалярное поле U = x2 –2y, точка М0(1,–1) и вектор . Требуется:найти градиент поля в точке M0 и производную  в точке M0 по направлению вектора ;

Задача 7. Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Требуется: представить функцию в виде w = u(x, y) +iv(x, y), выделив ее действительную и мнимую части; проверить, является ли функция w аналитической;

 

Расчет электротехнических устройств. Физика Задачи курсовой. Машиностроительное черчение