Задачи типового расчета по математике. Тема матрица

Матрицы и определители

Обратная матрица. Матричные уравнения. Системы линейных алгебраических уравнений.

Алгебра матриц

Принцип равенства

Сложение матриц

Умножение матрицы на число

Элементарные преобразования матрицы

Скалярное умножение арифметических векторов

Умножение матрицчисло столбцов матрицы

Умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно, т.е. .

Реакция произведения матриц на операцию транспонирования.

Основные типы алгебраических структур

 Теория делимости квадратных матриц

Основные типы алгебраических структур

 Пример Операции сложения и умножения чисел задают на множестве   структуру коммутативного кольца с единицей.

Эквивалентные матрицы

Для любой матрицы  существует эквивалентная ей матрица приведённого вида.

Среди всех матриц размера  выделим множество диагональных матриц

 Отношение эквивалентности

Матричные уравнения

Элементарные матрицы обратимы, а произведение обратимых матриц есть матрица обратимая.. Поэтому утверждение “матрица, представимая в виде произведения элементарных матриц, обратима” очевидно.

 Уравнение, называется матричным, если в качестве неизвестного оно содержит матрицу

Написать матрицу, транспонированную данным

 Напомним, что при вычислении произведения двух матриц используется скалярное умножение двух арифметических векторов порядка . Будем называть это скалярное умножение «простым», если , и – «сложным», если  (сокращённо ПСУ и ССУ). Посчитаем количества ПСУ и ССУ, которые необходимо совершить, чтобы вычислить матрицу   указанными выше способами.

 Анализ трёх рассмотренных способов вычисления матрицы   позволяет дать рекомендацию: при вычислении матричных произведений с числом сомножителей больше 2-х целесообразно начинать вычисление произведений с наименьшим числом столбцов у правого сомножителя, и заканчивать вычислением произведений с наибольшим числом столбцов у правого сомножителя. ►

И заметим, что ввиду некоммутативности операции умножения матриц

Пример 15. Разложить матрицу  в произведение простейших. Выяснить, является ли матрица  обратимой, и в случае её обратимости найти матрицу ,

Умножая полученное равенство справа на матрицу

Пример Найти произведение матриц А=  и В = .

Решение. Имеем: матрица А размера 2´3, матрица В размера 3´3, тогда произведение АВ = С существует и элементы матрицы С равны
с11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, с21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, с12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7,

Вычислить определитель D = , разложив его по элементам второго столбца. Решение. Разложим определитель по элементам второго столбца:

Методом элементарных преобразований найти обратную матрицу для матрицы: А= . Решение. Приписываем к исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка: . С помощью элементарных
преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей.

Расчет электротехнических устройств. Физика Задачи курсовой. Машиностроительное черчение