Кинематика твердого тела Силы Виды взаимодействий Эффективность реактивного движения Момент инерции Механические колебания Затухающие колебания Специальная теория относительности Квантовая и ядерная физика

Лекции по физике 1 курс Момент инерции

Момент инерции

Динамика твердого тела Момент силы.

Пара сил Парой сил называются две равные по модулю и противоположно направленные силы   и не действующие вдоль одной и той же прямой (см. Рис. 10.3.

Продифференцируем по времени вектор момента импульса.

Рассмотрим в качестве примера однородный прямой цилиндр и вычислим его момент инерции относительно геометрической оси  (см. Рис. 10.5).

Свойства моментов инерции Вычисление момента инерции во многих случаях можно упростить, используя соображения подобия и симметрии, теорему Гюйгенса-Штейнера,  также некоторые другие общие соображения, обозначенные ниже как следствие 1 и следствие 2.

Моменты инерции некоторых симметричных тел Вычислим некоторые моменты инерции. Рассмотрим момент инерции тонкого однородного стержня относительно перпендикулярной ему оси.

Аналогичное соотношение справедливо и для плоского параллелепипеда, для которого ось  проходит через центр основания со сторонами   и

Рассмотрим момент инерции однородного сплошного цилиндра относительно поперечной оси.

Рассмотри момент инерции сплошного однородного шара. Сплошной шар можно рассмотреть как совокупность бесконечно тонких сферических слоев с массами  и текущим радиусом .

 

Рассмотрим момент инерции трехосного эллипсоида. Пусть масса   равномерно распределена по объему эллипсоида с полуосями ,  и . Направления координатных осей , ,  совпадают с главными осями эллипсоида.

Энергетические характеристики вращательного движения Если тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью , то элементарная масса , отстоящая от оси вращения на расстоянии , обладает линейной скоростью .

Проведем анализ состава полученного уравнения. Первое слагаемое в правой части уравнения равно. Квадрат вектора равен квадрату его модуля, т.е.

Тензор инерции Будем считать, что тело состоит из отдельных материальных точек с массами .

Предположим, что все недиагональные элементы тензора равны нулю, а не равны нулю лишь диагональные элементы и, следовательно, тензор имеет вид:

Движение твердого тела, закрепленного в точке. Уравнения Эйлера.

Аналогичные соотношения можно записать и для скорости изменения ортов системы координат со временем, например:.  (10.119).

Рассмотрим свободное вращение твердого тела. Пусть на тело не действуют никакие силы, т.е. ..

Найдем момент импульса  частицы твердого тела относительно оси вращения , т.е. проекцию вектора  на эту ось:

.  (10.19)

Так как радиус-вектор   частицы, имеющей массу , перпендикулярен скорости  этой частицы (), то

  (10.20)

и тогда

,  (10.21) Физика курс лекций Основные законы оптики Физика курс лекций

где  - расстояние массы  от оси вращения  (см. Рис. 10.4). Взаимосвязь линейной и угловой   скоростей частицы имеет вид: . Следовательно,

. (10.22)

  Для системы частиц:

  (10.23)

.

  Полученное выражение не зависит от положения на оси вращения точки , относительно которой определяется момент импульса системы (тела). Величина

,  (10.24)

равная сумме произведений элементов масс на квадрат их расстояния до некоторой оси, называется моментом инерции тела относительно этой оси. Всякое тело независимо от того покоится оно или вращается, имеет момент инерции относительно любой оси. Перепишем выражение для момента инерции тела относительно оси:

,  (10.25)

где  - момент инерции тела относительно оси . В этом случае можно записать другую формулировку для основного уравнения динамики вращательного движения:

.  (10.26)

В частном случае постоянного момента инерции  и учитывая определение углового ускорения

,  (10.27)

имеем:

  (10.28)

- уравнение динамики вращательного движения тела относительно неподвижной оси. Здесь введено обозначение: . Полученное уравнение аналогично проекции   закона Ньютона на ось  (динамика поступательного движения): . В динамике вращательного движения роль массы играет момент инерции, роль линейного ускорения – угловое ускорение и, наконец, роль результирующей силы – суммарный момент внешних сил.

 Из определения момента инерции

  (10.29)

следует, что эта величина аддитивна. Кроме того, можно записать:

,  (10.30)

где  - плотность тела в области, в которой взят объем ;  - расстояние этого элементарного объема от оси, относительно которой вычисляется момент инерции. Если тело однородно, то

. (10.31)


Физика решение курсовой