Дифференцирование функций Вычисление интеграла Замена переменного Разложение в ряд Фурье  Задачи типового расчета по математике Матрицы Решение задач по высшей математике

Типовой расчет по высшей математике

Числовые ряды. Основные определения. Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности  называется числовым рядом.

Знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд можно записать в виде: ьгде

Степенные ряды. Понятие степенного ряда. На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд. Определение. Степенным рядом называется ряд вида

. Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.

Первообразная, неопределенный интеграл и простейшие способы нахождения Определение. Функция F(х) называется точной первообразной для функции f(x) на (a, b), если F¢(x) = f(x), x Î (a, b), или, что то же самое, f(x) dx служит дифференциалом для F(x): dF(x) = f(x) d

Правила вычисления неопределенных интегралов

Простейшие интегралы,содержащие квадратный трехчлен

Сходимость несобственных интегралов Определение и вычисление несобственных интегралов по бесконечному промежутку При вычислении и исследовании определённых интегралов учитывается основополагающее утверждение о том, что непрерывная на конечном интервале функция имеет первообразную (теорема Коши). Эта первообразная не всегда выражается через конечное число элементарных функций, но важно то, что она существует. При выполнении условий теоремы Коши определённый интеграл будем называть собственным, подразумевая наличие у него первообразной

Признаки сравнения несобственных интегралов по бесконечному промежутку

Признаки сравнения несобственных интегралов от разрывных функций Общий и предельный признаки сравнения несобственных интегралов от разрывных функций аналогичны таким же признакам для несобственных интегралов по бесконечному промежутку

Главные значения расходящихся несобственных интегралов К несобственным интегралам относятся так называемые интегралы в смысле главного значения. Если несобственный интеграл существует (сходится), то существует и интеграл в смысле главного значения и эти интегралы совпадают. Из существования интеграла в смысле главного значения не следует существование (сходность) соответствующего несобственного интеграла. Рассмотрим подробнее главные значения расходящихся несобственных интегралов по бесконечному промежутку и от разрывных функций.

Интегралы Задача . Вычислить .

Задача . Вычислить .

 

Замена переменного

 Пусть функция f(x) непрерывна, функции х(t) и t(x)взаимно обратны и непрерывно дифференцируемы на соответствующих промежутках. Тогда первообразная для функции f(x) имеет вид F(x) = Ф(t(x)), где Ф(t) есть первообразная для функции f(x (t)) x(t). Коротко это утверждение записывается так:

.

  Функция х(t) подбирается таким образом, чтобы подынтегральное выражение приняло более удобный для интегрирования вид. Выбор ее определяется конкретно видом подынтегрального выражения. Рассмотрим некоторые часто встречающиеся замены:

 А. Вычисление интегралов  n, m – целые

I. Если оба показателя n и m – неотрицательные четные числа, то применяются формулы понижения степени:

 .

II. Если n и m – натуральные числа такие, что хотя бы одно из них нечетное, то в случае нечетного m полагаются sin x = t, а в случае нечетного n полагаются cos x = t и применяют либо формулу 1 – сos2 x = sin2 x = cos2 x/

III. Если n и m – целые неотрицательные числа такие, что оба числа |m| и |n| либо четные, либо нечетные, то полагают tg x = t и применяют формулы:

.

К этому типу сводятся интеграл вида

.

В самом деле,

.

IV. Если n и m – целые отрицательные числа, причем одно из числе |n| и |m| нечетное, то в случае нечетного |m| полагают sin x = t, а в случае нечетного |n| полагают сos x = t. Иногда в случае больших степеней |n| и |m| полезно в числителе подынтегральной функции неоднократно заменить единицу суммой sin2x + cos2x.

V. Если n – четное число, а m – целое отрицательное число, то можно заменить sin2x по формуле sin2x = 1 – сos2 х, и в этом случае интегралы сводятся к интегралам вида 

  a Î N.

В случае четного m и целого n заменяют cos2 x на 1 – sin2 х. В некоторых специальных случаях полагают tg x = t.

VI. Если n нечетное и m – целое отрицательное число, то полагают cos x = t и применяют формулу sin2x = 1 – cos2x. В случае, когда m нечетное, а n – целое отрицательное число, полагают sin x = t и применяют формулу cos2x = 1– sin2x.

 При вычислении рассматриваемых интегралов часто используются следующие формулы:

,

,

.

  Пример 1.

.

  Пример 2.

.

  Пример 3.

.

  Пример 4.

.

  Пример 5.

.

  Пример 6.

.

  Пример 7.

.

  В. Интегрирование выражений, содержащих радикалы ;

; а ¹ 0.

I. Если подынтегральная функция содержит радикал , а > 0, то можно положить = = а sin t.

 Так как выражение имеет смыл только при |x| £ a, то и первообразная ищется на промежутке –а < x < a, следовательно, можно считать, что  тогда = а cos t.

II. Если подынтегральная функция содержит радикал , а > 0, то можно положить .

  В этом случае первообразная ищется на луче х > а или на луче х < –а. Так как нет никаких оснований предпочесть один луч другому, то можно выбрать тот луч, на котором будет более простая запись преобразованного подынтегрального выражения, т.е. луч х > а, тогда берем и = a tg t.

 В этом же случае можно сделать замену х = а ch t, тогда .

III. Если подынтегральная функция содержит радикал , а > 0, то можно положить х = а tg t. Функция х = а tg t непрерывно дифференцируема на интеграле (), при этом промежутком изменения х является числовая прямая, поэтому

.

  Пример 8. Вычислим

  Решение. Положим х = а tg t, тогда и

.

  Так как , то

.

  Пример 9. Вычислим

  Решение. Положим х = a sin t, тогда

.

  Так как

, ,  где |x| ¹ a

то .

  Пример 10. Вычислим 

  Решение. Положим х = a sh t, тогда

.

  Так как

,  то

и .

  С. Вычисление интегралов вида

.

где R- рациональная функция.

 Полагая е = z, имеем R (ex, e2x, …, enx) = R (z, z2, …, zn) и .

 Пример 11. Вычислим

.

  Решение. Полагая ex = z, имеем R (ex, e2x, …, enx) = R (z, z2, …, zn) и

.

  D. Интегрирование биноминальных дифференциалов.

 Так называются дифференциалы вида хm(a + bxn)p dx, где а, b – постоянные, отличные от нуля, m, n, p – рациональные числа.

 Первообразная для функции хm(a + bxn)p является элементарной функцией в следующих трех случаях: а) р – целое, б) - целое, в) - целое;

 а) если р – целое, то полагают x = z где N – общий знаменатель дробей m и n.

 Пример 12. Вычислим

.

Решение. Положим x = z6, поскольку р = –2 – целое. Тогда ,

, dx = 6z5dz.

.

Следовательно,

.

 б) если  – целое, тогда полагают а + bxn = zN , где N – знаменатель дроби р.

 Пример 13. Вычислим

.

  Решение. Положим 1 + х2/3 = z2, поскольку  – целое. Тогда х = (z2 – 1)3/2, .

Следовательно,

, .

 

 в) если  – целое, тогда полагают ах–n + b = z, где N – знаменатель дроби р.

 Пример 14. Вычислим

.

  Решение. Положим z4 = 1 + x–4, поскольку  - целое. Тогда х = (z4 – 1)-1/4, dx = –z3(z4 – 1)–5/4 dz, .

Следовательно,

.

  Если подынтегральная функция содержит трансцендентальную функцию сложного аргумента j(x), то полезно для упрощения подынтегрального выражения сделать замену j(x) = t.

 Пример 15. Вычислим .

 Решение. Положим , тогда  и .

Интегрируя по частям, имеем

.

Следовательно,

.

 Пример 16. Вычислим

.

 Решение. Положим , тогда х + 1= –t3, dx = –3t2dt.

Следовательно,

.


Итоговая контрольная за 1 курс математика