Дифференцирование функций Вычисление интеграла Замена переменного Разложение в ряд Фурье  Задачи типового расчета по математике Матрицы Решение задач по высшей математике

Типовой расчет по высшей математике

Определённый интеграл

Исследование функций с помощью производной. Возрастание и убывание функций. Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0. 2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f¢(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков

Общая схема исследования функций  Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать

Первообразная и неопределённый интеграл. Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство: F¢(x) = f(x).

Основные методы интегрирования. Способ подстановки (замены переменных). Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:

Интегрирование некоторых тригонометрических функций. Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.

Интеграл вида . Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx.

Интегрирование некоторых иррациональных функций. Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

Замена переменных. Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].

Приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур.

Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Понятие функции нескольких переменных. При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных.

Производная и дифференциал функции нескольких переменных. Частные производные. Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина Dxz = f( x + Dx, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условие экстремума. тОпределение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство ь то точка М0 называется точкой максимума.

 

Несобственные интегралы.

Интегралы с бесконечными пределами.

  Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, ¥). Тогда она непрерывна на любом отрезке [a, b].

 Определение: Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [a, ¥).

  Обозначение:

 Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится.

 Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится.

 Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов вида:

Конечно, эти утверждения справедливы, если входящие в них интегралы существуют.

  Пример.

- не существует.

Несобственный интеграл расходится.

 Пример.

  - интеграл сходится

 Теорема: Если для всех х (x ³ a) выполняется условие  и интеграл  сходится, то  тоже сходится и  ³ .

 Теорема: Если для всех х (x ³ a) выполняется условие  и интеграл  расходится, то  тоже расходится.

 Теорема: Если   сходится, то сходится и интеграл .

В этом случае интеграл  называется абсолютно сходящимся.

17.2. Интеграл от разрывной функции.

 Если в точке х = с функция либо неопределена, либо разрывна, то

Если интеграл  существует, то интеграл  - сходится, если интеграл  не существует, то  - расходится.

 Если в точке х = а функция терпит разрыв, то .

Если функция f(x) имеет разрыв в точке b на промежутке [a, с], то

  Таких точек внутри отрезка может быть несколько.

Если сходятся все интегралы, входящие в сумму, то сходится и суммарный интеграл.


Итоговая контрольная за 1 курс математика