Дифференцирование функций Вычисление интеграла Замена переменного Разложение в ряд Фурье  Задачи типового расчета по математике Матрицы Решение задач по высшей математике

Типовой расчет по высшей математике

Введение в математический анализ. Числовая последовательность.

Предел функции. Предел функции в точке

Бесконечно малые функции. Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если .

Комплексные числа. Определение. Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

Дифференциал функции. Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}.

Теоремы о производных. Теорема Ролля.ь Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (а, b) и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b), то на интервале (а, b) существует точка e, a < e < b, в которой производная функция f(x) равная нулю, f¢(e) = 0.

Дифференцирование функций. Производная сложной функции.

 Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

 Тогда 

 Доказательство. 

( с учетом того, что если Dx®0, то Du®0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)

  Тогда

Теорема доказана.

7.2. Логарифмическое дифференцирование.

Рассмотрим функцию .

Тогда (lnïxï)¢= , т.к. .

 Учитывая полученный результат, можно записать .

Отношение   называется логарифмической производной функции f(x).

 Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле

  Способ логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения производных сложных, особенно показательных функций, для которых непосредственное вычисление производной с использованием правил дифференцирования представляется трудоемким.

7.3. Производная показательно-степенной функции.

 Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной.

Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0.

Найдем производную функции y = uv. Логарифмируя, получим:

lny = vlnu

  Пример. Найти производную функции .

По полученной выше формуле получаем:

Производные этих функций:

Окончательно:

7.4. Производная обратных функций.

 Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.

 Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:

т.к. g¢(y) ¹

т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.

  Пример. Найти формулу для производной функции arctg.

 Функция arctg является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:

 Известно, что  

По приведенной выше формуле получаем:

Т.к.  то можно записать окончательную формулу для производной арктангенса:

  Таким образом получены все формулы для производных арксинуса, арккосинуса и других обратных функций, приведенных в таблице производных.


Итоговая контрольная за 1 курс математика